Глава XI. КАЧЕСТВЕННЫЕ МЕТОДЫ ТЕОРИИ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

§ 1. СТАЦИОНАРНАЯ ЗАДАЧА О РАСПРОСТРАНЕНИИ ПЛАМЕНИ

1. Некоторые априорные свойства.

Широкое применение качественные методы исследования уравнений находят в задачах о распространении пламени Существует много различных постановок таких задач. Некоторые простейшие из них мы отметили в п. X.I.4 Здесь мы рассмотрим простейшую модель горения газов в условиях подобия полей концентраций и температур в предположении реакции первого порядка. Такая задача впервые рассматривалась в работе Зельдовича [20] Она сводится, как мы видели в п. Х.1.4, к задаче при Для дальнейшего удобно положить

В результате такого выбора новой независимой переменной и новой скорости параметр у (или исчезает из уравнения и остается лишь в граничном условии

Нужно отметить, что задаче (1.2) присущи многие особенности, характерные и для других задач о распространении пламени. Приводимое ниже исследование задачи (1.2) во многом повторяет исследование задачи (X 1.4 11), проведенное в работе [9]

Общее решение уравнения (1.2) зависит от двух произвольных констант, и двух граничных условий, вообще говоря, недостаточно для однозначного определения решения и скорости Легко видеть, однако, что вместе с решением решением задачи (1.2) оказывается и функция где С — произвольная константа. Так что одной из констант интегрирования оказывается константа сдвига, которая принципиально не может быть определена из граничных условий. Вопрос о единственности решения задачи (1.2) можно ставить лишь с точностью до сдвигов. Можно надеяться, что граничные условия позволяют однозначно определить другую константу интегрирования и скорость Этот вопрос, однако, не вытекает из классических теорем существования и единственности решения и требует специального исследования.

Непосредственно из (1.2) вытекают следующие свойства решения

Если где-то отрицательна, то в силу неотрицательности граничных значений достигает отрицательного минимума в некоторой точке

Но тогда ввиду равенство (1.2) в точке не выполняется. Таким образом,

Если в некоторой точке то — точка минимума и, значит, Но тогда в силу единственности нулевого решения уравнения (1.2) с условиями имеем при противоречит условию Этим свойство 1 доказано.

Если это не так, т. е. если не является строго возрастающей, то найдется стационарная точка являющаяся либо точкой перегиба, либо точкой максимума. Словом,

Но это противоречит равенству (1.2).

По формуле конечных приращений для любого найдется что

В силу свойства ограниченности и монотонности при любом способе стремления Следовательно, Используя свойство 3, совершенно аналогично получаем:

5. Для существования решения задачи (1.2) необходимы условия

Интегрируя почленно равенство (1.2) в интервале получим

Отсюда следует, что и что интеграл сходящийся. Последнее возможно лишь при Необходимость срезания функции в окрестности и и смысл этой операции мы отмечали в

2. Разрешимость и вопросы единственности.

Согласно предыдущему пункту мы должны искать решение задачи (1.2) в классе положительных строго возрастающих функций при Обычный способ понижения порядка уравнения, не содержащего явно независимой переменной, когда в качестве новой независимой переменной принимается а уравнение решается относительно

приводит к эквивалентной задаче

для определения однозначной положительной функции и скорости Ясно, что если — решение задачи (1.2), то функция (2.1) удовлетворяет всем условиям (2.2) и наоборот: если -положительное решение задачи (2.2), то квадратура

где с — произвольное число из интервала однозначно с точностью до сдвига, т. е. выбора с, восстанавливает решение задачи (1.2). Необходимое для этого условие расходимости интеграла (2.3) при условие существования функции согласно (2.3) в интервале вытекает из дальнейшего анализа задачи (2.2).

Мы не будем пользоваться конкретным видом функции Будем предполагать только, что

и что непрерывна и обладает ограниченной при кусочно-непрерывной производной. Так что наш анализ охватывает и модель ( задачи об изотермическом распространении пламени.

Начальная точка является особой точкой уравнения (2.2). Для выяснения ее типа следует рассмотреть уравнение

получающееся линеаризацией числителя и знаменателя правой части (2.2) (в данном случае достаточно положить Матрица коэффициентов

имеет определитель Поэтому особая точка имеет тип «седла». Наклоны сепаратрис

находятся согласно (2.5) как корни квадратного уравнения

Нас интересует только положительная при сепаратриса с наклоном

никаких других положительных решений с условием уравнение (2.2) не имеет. Так что для доказательства разрешимости задачи (2.2) мы должны показать существование такого что Из формулы (2.6) следует, что при возрастании от нуля до бесконечности монотонно убывает от значения до значения к Легко видеть, кроме того, что

Рис. 15

Линия нулевых наклонов уравнения (2.2) имеет вид:

Из (2.7) и (2.8) заключаем, что при малых и сепаратриса проходит ниже кривой (рис. 15), возрастает в области

и обязательно пересекается с в точке своего максимума, после чего в области функция убывает. Очевидно, в интервале при любом Поэтому задача (2.2) не может иметь решения при одно доказательство необходимости срезания функции При

Поскольку при и то в этой области линейно зависит от и:

Так что при имеем в точке

Таким образом, мы решили обратную задачу: по заданному мы указали точку в которой Покажем, что функция (2.11) при изменении в интервале принимает все значения из интервала В самом деле (см. (2.9), суть непрерывные функции со при причем

Поэтому из (2.11) следует, что при при значит, любое значение является значением функции при некотором Ввиду независимости уравнения (2.2), следовательно и сепаратрисы от граничной точки «0 отсюда следует разрешимость задачи (2.2) при любом

Задача (2.2) разрешима и при Пусть (по предположению В интервале оценим поле наклонов уравнения (2.2) вдоль прямой при Так как по формуле конечных приращений , и, следовательно, при то из (2.2) имеем

Это неравенство показывает, что при возрастании и кривая остается ниже во всем интервале Но так как то С учетом (2.9) отсюда следует Таким образом, задача (2.2) при и имеет решение.

Итак, задача (2.2) разрешима при всех Причем функция (2.11) принимает, оказывается, все значения при изменении со лишь в конечном интервале

Лемма. Пусть Тогда в интервале

Действительно, если это не так, то найдется точка в которой Ввиду того что (см. (2.6)), можно предположить при (достаточно взять в качестве и наименьшую положительную точку пересечения этих кривых). Но тогда

а из уравнения имеем Полученное противоречие доказывает лемму.

В силу леммы следовательно, суть невозрастающие функции Поэтому множество тех значений где является открытым интервалом вида (в силу предыдущего

Согласно (2.9), (2.11) в этом интервале является строго убывающей функцией. Действительно, при имеем и

Поэтому при определена однозначная обратная функция задача (2 2) имеет при единственное решение является ограниченной убывающей функцией, причем

Далее, по определению т. е. Так как не возрастает, то при А так как в силу то мы имеем

Таким образом, при задача (2 2) имеет бесчисленное множество решений, отвечающих Однако только минимальное значение согласно (2.12) оказывается устойчивым (мало меняющимся) при малых изменениях Можно показать, что только оказывается устойчивым и при малых изменениях функции

Для задачи (1.2) мы имеем следующий результат.

Теорема. Пусть функция удовлетворяет условиям (2 4). Тогда:

1. При существует единственное (с точностью до сдвига) решение задачи (1.2). Значение является убывающей функцией и существует предел

2. При задача (1.2) разрешима при каждом При этом только решение, отвечающее оказывается устойчивым относительно малых изменений

3. При задача (1.2) не разрешима.

Следует отметить, что случай не характерен для задачи о тепловом распространении пламени, так как не является параметром задачи, а лишь условной точкой срезки функции от которой результаты не должны зависеть. Такой случай встречается в задачах о цепном изотермическом распространении пламени (см. также [24]).

Упражнение. Пчсть функция удовлетворяет (см. [24]) неравенству Показать, что при минимальное значение задается формулой

Указание. Проанализировать особую точку уравнения (2.2).

3. Приближенное вычисление скорости распространения w.

Заметим сперва, что не составляет большого труда численное нахождение функции а следовательно, и обратной функции Для этого нужно при заданном в уравнении (2.2) выйти из особой точки

вдоль интересующей нас сепаратрисы, т. е. взять начальное условие

где достаточно малое положительное число, и каким-либо методом численного интегрирования уравнений прорешать уравнение (2.2) до обращения в нуль решения в некоторой точке

Можно, однако, используя специфику задачи (малость величины вид функции получить приближенное аналитическое выражение для Источником разного рода оценок со служат соотношения

которые легко вытекают из (2.2). Так как вдоль прямой поле наклонов уравнения (2.2) удовлетворяет неравенству

при то имеет место

Используя оценку (3.2) и второе из соотношений (3.1), получим оценку

Хорошо известная формула Зельдовича

дает, таким образом, оценку снизу для величины со

Можно указать оценку сверху и понять асимптотический смысл формулы Зельдовича. Возьмем решение при

Если - решение задачи (2.2), то, очевидно, Но тогда в силу уравнения (2.2)

Так как то Снова пришли к неравенству (3.3). Если теперь использовать неравенство (3.5), то из (2.2) имеем (предполагается при

Так как то по теореме о среднем значении

где некоторое значение функции в интервале Таким образом, мы имеем неравенства

откуда следует, что т. е. формула Зельдовича (3.4) действительно является приближенной, дающей при больших главный член разложения по степеням Для приближенная формула принимает вид