6. Выражение аналитической функции через скачок.

Теорема. Пусть разрывная аналитическая функция, при Тогда имеет место равенство

в каждой точке в которой существует интеграл (6.1).

Доказательство. Пусть заданное число. Рассмотрим функцию

Эта функция удовлетворяет условию следствия предыдущего пункта и поэтому

Учитывая равенство (1.3), это можно записать в виде

где множество окружность внешний след функции на внешняя нормаль к окружности.

Интеграл в правой части (6.2) можно, очевидно, записать в виде

Так как существует интеграл (6.1), то существует предел левой части равенства (6.2) при Следовательно, существует предел и правой части, т. е. интеграла (6.3). Интеграл (6.3) является средним значением функции по окружности и его предел равен пределу усреднения по шару (подробнее об этом см. п. VI 1.4.3). Переходя в (6.2) к пределу при получим (6.1). Теорема доказана.

Эта теорема может быть использована, в частности, для выражения аналитической функции через ее граничные значения. Действительно, если функция является аналитической на некотором множестве, то, доопределив ее нулем вне этого множества, мы получим, что скачок этой функции на границе равен ее внутреннему следу.

Например, пусть функция задана и аналитична на ограниченном открытом множестве с конечным периметром, граница которого совпадает с существенной границей. Доопределим эту функцию нулем вне Предположим, что так полученная функция принадлежит пространству Тогда в каждой точке будет выполняться равенство

где внутренний след функции

Действительно, ясно, что На множестве

Поэтому в силу (6.1)

где внешняя нормаль. Отсюда и из (2.7) следует (6.4).

Равенство (6.4) называется формулой Коши. Из этой формулы следует, что если -аналитическая на открытом множестве функция, то ее среднее значение является непрерывной и даже неограниченно дифференцируемой функцией.