Главная > Анализ в классах разрывных функций и уравнения математической физики
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

5. Линейные функционалы в пространстве непрерывных функций.

Пусть ограниченное замкнутое множество в пространстве Обозначим через множество всех непрерывных функций - заданных на с нормой

Пусть, далее, произвольная регулярная мера, заданная на борелевских подмножествах множества Тогда интеграл

есть линейный функционал. Действительно, его аддитивность и однородность следуют из свойств интеграла, а ограниченность из оценки

Отсюда также следует, что

Обозначим через V пространство регулярных мер ограниченной вариации с нормой Мы видим, таким образом, что каждая мера порождает линейный функционал в пространстве причем имеет место неравенство

Оказывается, что так описываются все линейные функционалы в пространстве Именно, имеет место следующая теорема, доказанная Риссом.

Теорема. Каждый линейный функционал в пространстве имеет вид (5.1), где мера, принадлежащая пространству Мера однозначно определяется функционалом и имеет место равенство

С доказательством этой теоремы можно ознакомиться, например, в [17].

Легко показать, что соответствие между функционалами в и мерами из пространства V является изоморфизмом (см. п. 3), причем в силу (5.2) изометрическим. Таким образом, пространство, сопряженное к пространству непрерывных функций, есть пространство V регулярных мер ограниченной вариации (с точностью до изометрического изоморфизма пространств).

Важным частным случаем функционалов (5.1) являются функционалы вида

где — функция, суммируемая на по мере Лебега. В этом случае мера имеет вид

1
Оглавление
email@scask.ru