5. Линейные функционалы в пространстве непрерывных функций.
Пусть 
ограниченное замкнутое множество в пространстве 
Обозначим через 
множество всех непрерывных функций 
- заданных на 
с нормой
Пусть, далее, 
произвольная регулярная мера, заданная на борелевских подмножествах множества 
Тогда интеграл
есть линейный функционал. Действительно, его аддитивность и однородность следуют из свойств интеграла, а ограниченность из оценки
Отсюда также следует, что
Обозначим через V пространство регулярных мер ограниченной вариации с нормой 
Мы видим, таким образом, что каждая мера 
порождает линейный функционал в пространстве 
причем имеет место неравенство 
Оказывается, что так описываются все линейные функционалы в пространстве 
Именно, имеет место следующая теорема, доказанная Риссом.
Теорема. Каждый линейный функционал 
в пространстве 
имеет вид (5.1), где 
мера, принадлежащая пространству 
Мера 
однозначно определяется функционалом 
и имеет место равенство
С доказательством этой теоремы можно ознакомиться, например, в [17].
Легко показать, что соответствие между функционалами в 
и мерами из пространства V является изоморфизмом (см. п. 3), причем в силу (5.2) изометрическим. Таким образом, пространство, сопряженное к пространству 
непрерывных функций, есть пространство V регулярных мер ограниченной вариации (с точностью до изометрического изоморфизма пространств).
Важным частным случаем функционалов (5.1) являются функционалы вида
где 
— функция, суммируемая на 
по мере Лебега. В этом случае мера 
имеет вид
