6. Полный скачок.

В п. IV.4.4 мы ввели понятие направленного скачка функции в каждой регулярной точке х. Это есть вектор

где а — определяющий вектор. Пусть, как и выше, обозначает множество точек скачка, т. е. регулярных точек х, в которых

Определение. Полным скачком функции на множестве называется вектор

Разумеется, такое определение имеет смысл, если интеграл (6.2) существует. Мы покажем, что для функций принадлежащих пространству В V, и борелевских множеств это действительно так, и получим формулу, связывающую градиент функции и с ее полным скачком.

Рассмотрим сначала случай, когда есть простая функция, принадлежащая пространству т. е. функция вида (IV.5.4.1):

где характеристическая функция ограниченных множеств с конечным периметром.

Теорема 1. Пусть -простая функция, принадлежащая пространству Тогда множество точек скачка этой функции есть множество класса и ее полный скачок (по всему пространству равен нулю:

Доказательство. Из теоремы о структуре простых функций (теорема 3, п. IV.5.4) следует, что множество точек скачка есть объединение множеств (см. равенство (IV.5.4.4)). Каждое такое множество принадлежит существенной границе множества с конечным периметром и поэтому является множеством класса Поэтому есть множество класса как объединение конечного числа множеств класса

Из равенства (6.3) мы заключаем теорема 1). что мера сосредоточена на существенных границах множеств и поэтому на множестве Следовательно,

Последнее равенство записано на основании теоремы п. 5. В силу леммы п. 4 интеграл, стоящий в левой части первого равенства (6.5), равен нулю. Отсюда следует (6.4). Теорема доказана.

Теорема 2. Множество точек скачка функции принадлежащей пространству есть множество класса Полный скачок этой функции на любом борелевском множестве равен значению градиента на множестве :

Доказательство. Пусть сначала -ограниченная финитная функция, принадлежащая пространству Как и при доказательстве теоремы п. IV.5.5, мы представим функцию как предел последовательности простых функций принадлежащих пространству При этом оказывается, что является измеримым по мере множеством и Отсюда следует, что есть множество класса

В случае неограниченной функции мы рассмотрим срезку

Ясно, что и поэтому является множеством класса

То, что рассмотрение проведено для финитных функций, не ограничивает общности, так как, очевидно, множество принадлежит классу если его пересечение с любым шаром обладает этим свойством.

Итак, мы показали, что множество точек скачка функции и принадлежит классу Ясно, что множество где борелевское множество, также принадлежит классу Поэтому на основании теоремы имеет место равенство (6.6). Теорема доказана.