4. Метод линеаризации.

Рассмотрим сначала линейную однородную систему

где а — постоянная матрица.

Теорема 1. Пусть все собственные значения матрицы а имеют отрицательные действительные части. Тогда существуют постоянные такие, что для любого решения системы (4.1) имеет место оценка

Доказательство. Согласно формуле (2.1.7)

При этом для матрицы имеет место интегральное представление (2.2.4):

где С — произвольный контур, охватывающий все собственные значения матрицы а. Положим

По условию теоремы В качестве контура С можно взять замкнутую кривую конечной длины I, частью которой является отрезок прямой На остальной части контура можно считать . Из (4.3), (4.4) имеем

где (нормой матрицы А называется число Полагая имеем (4.2).

Следствие. Все решения системы (4.1) асимптотически устойчивы, если выполнено условие теоремы 1.

В самом деле, из представления (4.3) следует

и для любого при из (4.2) вытекает

В частности, асимптотически устойчиво тривиальное решение

Замечание 1 Если хотя бы одно собственное значение матрицы а имеет положительную действительную часть, то точка равновесия системы (4 1) неустойчива.

Пусть к — вещественное положительное собственное значение, соответствующий собственный вектор матрицы а При любом начальном условии решение имеет вид

и как бы мало ни было число оказывается неграниченно растущей функцией комплексного собственного значения X с положительной действительной частью предоставляем разобрать читателю.

Систему (4.1), удовлетворяющую условию теоремы 1, называют устойчивой системой. Мы построим функцию Ляпунова для устойчивой системы (4 1), с помощью которой удается исследовать и нелинейную систему. В силу оценки (4.2) для решения устойчивой системы конечен интеграл

Поскольку при и линейно зависит от I, то является положительно-определенной квадратичной формой от Согласно (4.5) и тождеству

(см. (1.3)) имеем

Отсюда

т. е. производная функция в силу системы (4.1) имеет вид

Итак, устойчивая линейная система (4.1) допускает положительную при функцию (см. (4.5)) с отрицательной производной в силу системы вида (4.6).

Обратимся теперь к нелинейной автономной системе

Предполагая, что есть точка равновесия, и что непрерывно дифференцируема, имеем

где а — постоянная матрица с элементами при Наряду с системой (4.7) будем рассматривать линеаризованную систему, т. е. систему (4.1) с матрицей а из (4.8).

Теорема 2. Если линеаризованная система устойчива, то точка равновесия системы (4.7) асимптотически устойчива.

Доказательство. Рассмотрим функцию (4.5) для линеаризованной устойчивой системы (4 1). Ее производная в силу линейной системы (4.1) имеет вид (4.6). Вычислим ее производную в силу системы (4.7). С учетом (4.8)

Очевидно, так что при так как согласно то в шаре имеем

По теореме 1, п. 2, точка асимптотически устойчивая точка равновесия системы (4.7).

Замечание 2. Если матрица а в (4 8) имеет хотя бы одно собственное значение с положительной действительной частью, то точка равновесия системы (4 7) неустойчива

Метод линеаризации не позволяет делать каких-либо заключений об устойчивости точки равновесия, когда собственные значения матрицы располагаются в замкнутой полуплоскости т. е. возможно нулевое или чисто мнимое собственное значение. Исследование этого случая обычно связано с большими трудностями. В некоторых случаях, как в примерах 4 и 5 п. 3, это удается делать с помощью подходящей функции Ляпунова.