2. Условия на разрывах.

Законы сохранения, записанные в дифференциальной форме как меры, дают возможность получить условия на разрывах без привлечения каких бы то было дополнительных физических соображений, достаточно вычислить значения этих мер на множествах, содержащих точки разрыва, используя соответствующие интегральные формулы.

Проведем более точные рассуждения. Как и выше, мы это сделаем примерах

В качестве первого примера рассмотрим уравнение непрерывности (13). По предположению вектор-функция принадлежит пространству Поэтому к ней может быть применена теорема о структуре функций из (см. п. IV.5.5). Согласно этой теореме все точки -мерного пространства с точностью до множества трехмерной

меры нуль являются либо точками аппроксимативной непрерывности вектор-функции либо точками скачка. Обозначим, через множество точек скачка этой вектор-функции. Как было показано в п. 1.6, это множество является множеством класса и поэтому для любого борелевского множества из (1.3) и формулы (15.1) получаем

Здесь нормаль к множеству плюс и минус обозначают аппроксимативные пределы функций по полупространствам, определяемым нормалями

Ввиду произвольности множеств В из (2.1) следует

почти всюду по трехмерной мере на Это и есть условие на разрывах.

Совершенно аналогично получаются условия на разрывах и для других уравнений гидродинамики.

В качестве второго примера рассмотрим уравнение теплопроводности (1.8). Пусть — множество точек скачка вектор-функции Пусть, далее, на борелевских множествах мера имеет вид

Рассуждая, как и выше, мы получим, что почти всюду (по двумерной мере) на имеет место равенство