7. Разложение по ортогональным системам.

Пусть в евклидовом пространстве задана полная ортогональная система

и выполняется условие Тогда система векторов где является ортонормированной. Подставляя в (5.1) и (5.2) выражение через получим

Обозначим

Будем называть коэффициентами Фурье элемента х по ортогональной системе (7.1). Тогда ряд Фурье (7.2) будет иметь вид

Далее, равенство Парсеваля (5.4) запишется в виде

Отсюда и из (7.3) получаем

Пример Рассмотрим разложение в тригонометрический ряд Фурье, т. е. разложение по системе

на отрезке

Для простоты ограничимся пространством функций заданных и непрерывных на отрезке со скалярным произведением

Легко видеть, что последоватечьность (7 6) является ортогональной в этом пространстве. Действительно,

Аналогично

Далее, имеет место равенство

и точно так же

Поэтому разложение (7.4) в рассматриваемом случае имеет вид

где на основании (7 3)

Более полное исследование разложения в тригонометрический ряд Фурье будет проведено в где, в частности, будет доказана полнота последовательности (7.6).