3. Свойства определителя.

1. Определитель произведения двух матриц равен произведению их определителей:

Доказательство. Равенство (3.1) получается из (2.1) при

2. Для определителя имеет место следующее разложение по элементам строки:

где -алгебраические дополнения (см. п. 1).

Доказательство. Обозначим

и докажем, что удовлетворяет условиям, входящим в определение п. 2. Если то при так что

Далее, являются линейными функциями первого столбца матрицы А, а от него не зависят. Следовательно, — линейная функция первого столбца. Для других столбцов аналогично.

Наконец, для доказательства кососимметричности достаточно доказать, что если совпадают два соседних столбца Пусть, например, совпадают два первых столбца. Тогда так что Итак, доказано выполнение всех условий определения п. 2 и поэтому

3. Определитель есть линейная кососимметрическая функция строк матрицы.

Доказательство. Линейность определителя как функции строки сразу следует из равенства (3.2), так как не зависят от 1-й строки.

Кососимметричность докажем индукцией по При это очевидно. Пусть это верно для матриц порядка Поменяем местами в матрице (1.2) -ю и -ю строки и рассмотрим равенство (3.2) при отличном от и 5. Тогда по предположению индукции все поменяют знаки и, следовательно, тоже поменяет знак.

4. При транспонировании матрицы определитель не изменяется:

Доказательство. Введем функцию матрицы На основании 3 это линейная кососимметрическая «функция столбцов, так как при транспонировании матриц столбцы переходят в строки. Кроме того, Следовательно,

5. Имеет место следующее разложение по элементам столбца:

Доказательство следует из утверждений 2 и 4.

6. Определитель обращается в нуль, если равны между собой какие-нибудь два столбца или две строки.

Доказательство. Для столбцов это следует из утверждения 1 п. 2. Утверждение для строк затем следует из 4.

7. Значение определителя не изменяется., если к некоторому столбцу (строке) прибавить другой столбец (строку), умноженный на некоторое число.

Доказательство следует из 6 и линейности определителя как функции строк и столбцов.

8. Если между строками или столбцами матрицы есть линейная зависимость, то определитель равен нулю.

Доказательство. Если между строками матрицы есть линейная зависимость, то одна из строк является линейной комбинацией других, и, пользуясь свойством 7, мы можем, не меняя значения определителя, сделать ее нулевой. Но тогда в силу свойства 2 определитель равен нулю. Аналогично для столбцов.