2. Простые измеримые функции.

Будем говорить, что задано разбиение множества если задана конечная система измеримых множеств

такая, что

Определение. Функция называется простой измеримой функцией, если существует такое разбиение (2.1) множества что

где заданные элементы пространства В.

Примером простой измеримой функции может служить характеристическая функция измеримого множества Е:

В этом примере производится разбиение пространства 5 на два множества

Легко видеть, что с помощью характеристических функций множеств любую простую функцию (2.2) можно представить в виде

Обозначим через множество всех простых измеримых функций, определенных на со значениями в пространстве В. Покажем, что есть линейное пространство. Действительно, пусть заданы две простые измеримые функции: функция определенная равенством (2.2), и функция

где образует разбиение пространства 5. Заметим, что система множеств образует разбиение пространства что легко непосредственно проверить. При этом пустые множества можно отбросить.

Ясно, что функция

является простой измеримой функцией.

Таким образом, сумма двух простых измеримых функций есть простая измеримая функция. Ясно, что если есть простая измеримая функция, то где а — число, есть также простая измеримая функция. Итак, доказано, что есть линейное пространство.