4. Решение уравнения Пуассона.

Будем рассматривать уравнение Пуассона

на некотором открытом множестве пространства Мы будем предполагать, что функция суммируема в квадрате по множеству . В частности, при превращается в уравнение Лапласа. Гладкую функцию являющуюся решением последнего на открытом множестве называют гармонической на этом множестве.

Мы будем выражать обобщенное решение уравнения (4.1) с помощью интеграла

где некоторое открытое ограниченное множество Этот интеграл существует почти при всех

Теорема. Пусть и — обобщенное решение уравнения (4.1) на множестве Пусть, далее, произвольное ограниченное открытое множество, принадлежащее вместе с границей множеству Тогда в каждой точке в которой существует интеграл (4.2), существует также шаровое среднее функции и имеет место равенство

где функция гармоническая и неограниченно дифференцируемая в

Доказательство. Построим функцию гладкую, финитную на множестве и равную единице в некоторой е-окрестности множества Такая функция может быть построена, например, следующим образом. Пусть число таково, что вместе с границей принадлежит множеству характеристическая функция множества усреднение функции с радиусом усреднения Тогда при достаточно малых в качестве со может быть взята функция

Рассмотрим интеграл

Пусть он существует в некоторой точке Мы хотели бы принять функцию в качестве функции входящей в определение обобщенного решения уравнения (4.1) (см. (2.2.9)). Однако так непосредственно этого сделать нельзя, потому что эта функция не имеет суммируемых в квадрате производных. Но мы можем ее «подправить».

С этой целью рассмотрим функцию

при В случае аналогично. Обозначим

Так как то по теореме о предельном переходе под знаком интеграла (см. п. II.3.4) имеем

Воспользуемся определением обобщенного решения уравнения (4.1), данным в п. 2.2 (см. равенство (2.2.9)). Получим

Мы считаем, что число настолько большое, что окрестность точки принадлежит множеству так что в указанной окрестности. Поэтому равенство (4.8) можно записать также в виде

где часть множества которая получится, если отбросить окрестность точки Интегрирование по частям в интеграле (4.9) дает следующее равенство:

причем интегрирование в последнем интеграле производится по множеству так как

Повторяя те же рассуждения, что и в конце доказательства теоремы на основании (4.7) заключаем, что существует шаровое среднее и имеет место равенство

Обозначим

Тогда из (4.12) и (4.4) получим (4.3).

Для полного доказательства теоремы остается только показать, что —гармоническая и неограниченно дифференцируемая функция. Но это ясно из (4.13) и (4.11). Действительно, как функция точки при каждом хфхо этим свойством обладает. Кроме того, при можно брать производные любого порядка по под знаком

интегралов, так как находится на положительном расстоянии от множества Теорема доказана.

Следствие. Пусть функция, заданная на открытом ограниченном множестве и суммируемая в квадрате. Тогда функция

является обобщенным решением уравнения Пуассона (4.1) на множестве

Доказательство. Обозначим через К шар достаточно большого радиуса такой, чтобы множество вместе с границей содержалось в нем. Продолжим функцию вне считая ее там равной нулю. Пусть есть обобщенное решение уравнения Пуассона

в шаре К. Такое решение существует, так как мы можем, например, в качестве взять обобщенное решение задачи Дирихле в шаре К для уравнения (4.15). Существование решения задачи Дирихле следует из теоремы 2 п. 2.8. Равенство (4.3) в рассматриваемом случае примет вид

где гармоническая и гладкая в функция. Это равенство имеет место почти всюду в Из (4.16) и (4.15) следует, что и есть обобщенное решение уравнения (4.1).