5. Свойства первой собственной функции.

Рассмотрим задачу о собственных значениях:

Точная постановка ее и все ограничения сформулированы в п. 3.1. В п. 3.3 показано, что существует наименьшее (первое) собственное значение этой задачи. Соответствующую ему собственную функцию будем называть первой собственной функцией.

Лемма. Если есть первая собственная функция задачи (5.1), то ее абсолютная величина также является первой собственной функцией этой задачи.

Доказательство. На основании теоремы п. 1 для функционала (см. (2.7)) имеет место Следовательно для первого собственного значения А. имеем

Как показано в п. 3.3, отсюда следует, что есть первая собственная функция. Лемма доказана.

Будем предполагать, что коэффициенты оператора (см. имеют ограниченные вторые производные.

Теорема. Собственные функции задачи (5.1) непрерывны на множестве При этом первая (и только первая) собственная функция не обращается в нуль ни в одной точке множества (следовательно, она либо положительна, либо отрицательна при всех

Доказательство. Пусть -любая собственная функция задачи (5.1). Докажем ее непрерывность. Если — фундаментальное решение уравнения оператор (2.1) при то, как и в п. 4.4, получаем

при почти всех Здесь произвольное открытое множество, принадлежащее вместе с границей множеству

— непрерывная в функция. Так как то в силу и с — ограничены). Согласно теореме Соболева [48] об

интегралах типа потенциала из (5.2) в силу произвольности множества имеем где При этом означает, что и суммируема в степени на любом замкнутом подмножестве множества Из (5.3) следует теперь повторив рассуждения, заключаем, что где Продолжая так далее, через шагов получим, что причем явные вычисления показывают, что с ростом становится достаточно большим, чтобы из (5.2) сделать вывод о непрерывности на основании теоремы Соболева о непрерывности интегралов типа потенциала.

Покажем, что первая собственная функция не обращается в нуль на множестве Предположим сначала, что первое собственное значение X положительно. Тогда Так как по лемме есть собственная функция, то она удовлетворяет неравенствам (2.2), (2.3), причем функционал положительно-определенный ввиду положительности X (см. п. 3.6). По теореме п. при

При функция оказывается первой собственной функцией задачи (5.1) с собственным значением единица для нового оператора Следовательно, по доказанному при

Другие собственные функции ввиду ортогональности к первой, очевидно, не сохраняют своего знака в области Теорема доказана.

Следствие. Существует единственная с точностью до постоянного множителя первая собственная функция задачи (5.1).

Доказательство. Вместе с произвольными первыми собственными функциями задачи (5.1) рассмотрим функцию

где произвольная точка области Если не обращается в нуль тождественно, то вместе с первой собственной функцией задачи (5.1) является и функция и согласно теореме не обращается в нуль ни в одной точке Но Поэтому при и из (5.4) имеем

что и требовалось доказать.

Свойство единственности первой собственной функции означает по определению, что первое собственное значение является простым (некратным).