Главная > Анализ в классах разрывных функций и уравнения математической физики
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

5. Свойства первой собственной функции.

Рассмотрим задачу о собственных значениях:

Точная постановка ее и все ограничения сформулированы в п. 3.1. В п. 3.3 показано, что существует наименьшее (первое) собственное значение этой задачи. Соответствующую ему собственную функцию будем называть первой собственной функцией.

Лемма. Если есть первая собственная функция задачи (5.1), то ее абсолютная величина также является первой собственной функцией этой задачи.

Доказательство. На основании теоремы п. 1 для функционала (см. (2.7)) имеет место Следовательно для первого собственного значения А. имеем

Как показано в п. 3.3, отсюда следует, что есть первая собственная функция. Лемма доказана.

Будем предполагать, что коэффициенты оператора (см. имеют ограниченные вторые производные.

Теорема. Собственные функции задачи (5.1) непрерывны на множестве При этом первая (и только первая) собственная функция не обращается в нуль ни в одной точке множества (следовательно, она либо положительна, либо отрицательна при всех

Доказательство. Пусть -любая собственная функция задачи (5.1). Докажем ее непрерывность. Если — фундаментальное решение уравнения оператор (2.1) при то, как и в п. 4.4, получаем

при почти всех Здесь произвольное открытое множество, принадлежащее вместе с границей множеству

— непрерывная в функция. Так как то в силу и с — ограничены). Согласно теореме Соболева [48] об

интегралах типа потенциала из (5.2) в силу произвольности множества имеем где При этом означает, что и суммируема в степени на любом замкнутом подмножестве множества Из (5.3) следует теперь повторив рассуждения, заключаем, что где Продолжая так далее, через шагов получим, что причем явные вычисления показывают, что с ростом становится достаточно большим, чтобы из (5.2) сделать вывод о непрерывности на основании теоремы Соболева о непрерывности интегралов типа потенциала.

Покажем, что первая собственная функция не обращается в нуль на множестве Предположим сначала, что первое собственное значение X положительно. Тогда Так как по лемме есть собственная функция, то она удовлетворяет неравенствам (2.2), (2.3), причем функционал положительно-определенный ввиду положительности X (см. п. 3.6). По теореме п. при

При функция оказывается первой собственной функцией задачи (5.1) с собственным значением единица для нового оператора Следовательно, по доказанному при

Другие собственные функции ввиду ортогональности к первой, очевидно, не сохраняют своего знака в области Теорема доказана.

Следствие. Существует единственная с точностью до постоянного множителя первая собственная функция задачи (5.1).

Доказательство. Вместе с произвольными первыми собственными функциями задачи (5.1) рассмотрим функцию

где произвольная точка области Если не обращается в нуль тождественно, то вместе с первой собственной функцией задачи (5.1) является и функция и согласно теореме не обращается в нуль ни в одной точке Но Поэтому при и из (5.4) имеем

что и требовалось доказать.

Свойство единственности первой собственной функции означает по определению, что первое собственное значение является простым (некратным).

1
Оглавление
email@scask.ru