§ 8. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

Здесь будет введена функция, определенная на квадратных матрицах, играющая особую роль в теории матриц и называемая определителем, или детерминантом матрицы.

1. Конструктивное определение.

Определение будет дано по индукции по порядку матрицы. Для матрицы второго порядка

назовем определителем число

Пусть уже дано определение определителя для матриц порядка и пусть задана матрица порядка

Назовем минором элемента матрицы определитель матрицы порядка полученной из матрицы вычеркиванием строки и столбца, содержащих этот элемент. Алгебраическим дополнением элемента матрицы называется число

Определителем, или детерминантом, матрицы А называется число

Ясно, что указанным способом могут быть вычислены определители для матриц любого порядка.

2. Аксиоматическое определение.

Определение, данное в п. 1, имеет тот недостаток, что непосредственно из него трудно вывести свойства определителя. Кроме того, сам прием вычисления определителя, вытекающий из его определения, является чрезвычайно громоздким. Значительно проще вычислять определитель, опираясь на его свойства. Поэтому здесь будет дано другое определение определителя как некоторой функции матрицы, заданной ее свойствами, и будет доказана эквивалентность этих определений. Определение п. 1 будет использовано для доказательства существования такой функции.

Будем рассматривать столбцы матрицы А как векторы комплексного координатного пространства Функция (комплексная),

заданная на векторах пространства называется линейной, если для любых комплексных чисел и любых двух векторов имеет место равенство

Функция матрицы называется линейной функцией столбцов этой матрицы, если она линейна как функция каждого столбца.

Функция называется кососимметрической функцией столбцов матрицы если при перестановке любых двух столбцов этой матрицы она не изменяется по абсолютной величине и меняет знак на противоположный. Для дальнейшего понадобятся следующие утверждения.

1 Если есть кососимметрическая функция столбцов и в матрице два столбца равны между собой, то

Доказательство. Пусть а есть значение функции после перестановки равных между собой столбцов. Тогда в силу кососимметричности и в силу равенства столбцов. Отсюда

2. Если линейная функция столбцов матрицы А обращается в нуль при совпадении любых двух соседних столбцов, то она является кососимметрической функцией столбцов.

Доказательство. Обозначим столбцы матрицы через и запишем в виде По предположению Пользуясь линейностью, получим

Но в силу условия теоремы первое и последнее слагаемые равны нулю. Отсюда следует, что кососимметрична относительно двух первых столбцов. Точно так же это доказывается для любых двух соседних столбцов. Пусть теперь делается перестановка столбцов Ее можно свести к последовательной перестановке соседних столбцов. Для этого делается последовательная перестановка а с соседними столбцами справа 5—й раз, а затем последовательная перестановка с соседними столбцами слева раз. Таким образом, делается нечетное число перестановок и поэтому функция изменяет знак.

3. Функцию заданную на квадратных матрицах, назовем нормированной, если она равна единице на единичных матрицах любого порядка:

Докажем, что построенный в п. 1 определитель является нормированной линейной кососимметрической функцией столбцов.

Доказательство будет проведено индукцией по порядку матрицы. При утверждение проверяется непосредственно. Пусть утверждение уже доказано для матриц порядка Докажем его для матриц порядка Докажем сначала линейность как функции столбцов. Для простоты записи рассмотрение проведем для первого столбца. По предположению индукции все определители являются линейными функциями первого столбца матрицы Этим же свойством обладает элемент Кроме того, и Ли не зависят от первого столбца. Поэтому из (1.3) следует, что есть лилейная функция первого столбца матрицы

Докажем кососимметричность определителя. На основании утверждения 2 достаточно доказать, что если совпадают какие-нибудь два соседних столбца. Пусть для определенности совпадают два первых. Тогда по предположению индукции при Очевидно, далее, что так что из (1.3) следует, что Кососимметричность доказана.

Если А есть единичная матрица, то по предположению индукции, так что на основании (1.3). Утверждение доказано.

4. Пусть квадратные матрицы порядка произвольная линейная кососимметрическая функция столбцов матрицы, заданная на всех квадратных матрицах. Тогда

Доказательство. Пусть столбцы матрицы — столбцы матрицы С. Тогда

Подставим в вместо столбцов матрицы С их выражения (2.2). Пользуясь линейностью рассматриваемой как функция столбцов, получим сумму слагаемых вида

где - некоторое число, зависящее от матрицы В и не зависящее от некоторый набор из чисел Если в этом наборе есть равные числа, то слагаемое (2.3) равно нулю. В противном случае можно перестановками столбцов получить

Таким образом, во всех слагаемых (2.3) имеется общий множитель Вынося его за скобки, получим

где у есть число, не зависящее от матрицы А и функции Последнее нужно понимать так: если вместо взять любую другую функцию, удовлетворяющую условию утверждения 4, то, произведя все указанные выше действия в том же порядке, мы получим тот же множитель у. Возьмем, в частности, Тогда из (2.4) получим и (2.1) доказано.

Дадим аксиоматическое определение определителя.

Определение. Определителем, или детерминантом, называется нормированная функция, определенная на всех квадратных матрицах и являющаяся линейной и кососимметрической функцией столбцов.

То, что такая функция существует, следует из утверждения 3. Ее единственность следует из утверждения 4, так как, положив там получим