3. Условие воспламенения в случае ограниченного источника.

Рассмотрим задачу (2.12) при т. е. задачу

Соответствующая стационарная задача

согласно теореме разрешима при любом следовательно, критическое значение в смысле определения здесь отсутствует. Спрашивается, как математически выразить возможность теплового взрыва в данном случае.

Оказывается, критическое значение здесь существует в том смысле, что при достаточно малых минимальное решение задачи (3.2) как функция терпит скачок при некотором

По определению будем считать, что критическим значением разделяющим взрывные и невзрывные режимы, является точка скачка минимального решения

Можно показать в общем виде, что такое определение корректно, что при достаточно малых существует и единственно. Мы ограничимся тем, что покажем это для соответствующей (3.2) осредненной задачи, сводящейся к алгебраическому уравнению

При прямая линия (рис. 13) при непрерывном изменении и от нуля до бесконечности дважды принимает положение касательной к графику при значениях При этом прямая помимо точки касания имеет еще одну общую точку с графиком Утверждается, что минимальное решение уравнения (3.3) ни при каких не попадает в интервал В самом деле, при к непрерывно возрастая, приближается к при при Таким образом, к оказывается точкой скачка В общем случае задачи (3.2) положение аналогичное; оказывается функцией и возникает задача нахождения этой зависимости. В задаче (3.3) элементарно получается асимптотика

На этом основании и в задаче (3.2) полагают обычно

Формула (3.5) не оказывается точной асимптотикой при однако некоторый анализ показывает правомерность такой приближенной формулы.

Рис. 13

Будем предполагать, что и минимальное решение задачи (3.2) при является гладкими функциями при При этом, очевидно, является критическим значением в прежнем смысле, а -единственным решением при Разлагая по степеням малого параметра

из (3.2) находим уравнение для

Помня о том, что является собственным значением задачи (1.8) и что решение задачи (3.7) существует по предположению, делаем вывод об ортогональности функции к первой собственной функции задачи (1.8):

Отсюда следует, что

есть среднее значение функции с весом В силу выпуклости имеем

Интегрируя равенство (3.2) с весом и применяя формулу Грина и равенство (1.8) для находим

Таким образом, среднее от с весом есть единица: Поэтому из (3.9) имеем, что в общем случае Точно определить величину с, естественно, не удается в общем случае. Поскольку, однако, с погрешностью порядка можно принять то (см. следует ожидать, что с мало отличается от единицы. В этом смысле приближенная формула (3.5) допустима.

В случае первой краевой задачи в цилиндрической области

к к величину с в формуле (3.6) удается вычислить точно. В этом случае, как будет показано в п. XI.2.2, Соответствующая задача (1.8) имеет вид

Первая собственная функция этой задачи легко находится

Поэтому согласно (3.8)

Интеграл вычисляется элементарно и дает

В заключение отметим, что обычно записывают и поправку на выгорание (у 90) для величины [53], которой, однако, трудно придать строгий математический смысл, поскольку при взрывная картина «размазана» и трудно ввести однозначное понятие [4].