Можно показать в общем виде, что такое определение корректно, что при достаточно малых
существует и единственно. Мы ограничимся тем, что покажем это для соответствующей (3.2) осредненной задачи, сводящейся к алгебраическому уравнению
При
прямая линия
(рис. 13) при непрерывном изменении и от нуля до бесконечности дважды принимает положение касательной к графику
при значениях
При этом прямая
помимо точки касания
имеет еще одну общую точку
с графиком
Утверждается, что минимальное решение
уравнения (3.3) ни при каких
не попадает в интервал
В самом деле,
при к
непрерывно возрастая, приближается к
при
при
Таким образом, к
оказывается точкой скачка
В общем случае задачи (3.2) положение аналогичное;
оказывается функцией
и возникает задача нахождения этой зависимости. В задаче (3.3) элементарно получается асимптотика
На этом основании и в задаче (3.2) полагают обычно
Формула (3.5) не оказывается точной асимптотикой при
однако некоторый анализ показывает правомерность такой приближенной формулы.
Рис. 13
Будем предполагать, что
и минимальное решение
задачи (3.2) при
является гладкими функциями
при
При этом, очевидно,
является критическим значением
в прежнем смысле, а
-единственным решением при
Разлагая по степеням малого параметра
из (3.2) находим уравнение для
Помня о том, что
является собственным значением задачи (1.8) и что решение
задачи (3.7) существует по предположению, делаем вывод об ортогональности функции
к первой собственной функции
задачи (1.8):
Отсюда следует, что
есть среднее значение функции с весом
В силу выпуклости
имеем
Интегрируя равенство (3.2) с весом
и применяя формулу Грина и равенство (1.8) для
находим
Таким образом, среднее от
с весом
есть единица:
Поэтому из (3.9) имеем, что в общем случае
Точно определить величину с, естественно, не удается в общем случае. Поскольку, однако, с погрешностью порядка
можно принять
то (см.
следует ожидать, что с мало отличается от единицы. В этом смысле приближенная формула (3.5) допустима.
В случае первой краевой задачи в цилиндрической области
к к величину с в формуле (3.6) удается вычислить точно. В этом случае, как будет показано в п. XI.2.2,
Соответствующая задача (1.8) имеет вид
Первая собственная функция этой задачи
легко находится
Поэтому согласно (3.8)
Интеграл вычисляется элементарно и дает
В заключение отметим, что обычно записывают и поправку на выгорание (у 90) для величины
[53], которой, однако, трудно придать строгий математический смысл, поскольку при
взрывная картина «размазана» и трудно ввести однозначное понятие
[4].