8. Мера Хаусдорфа.

Мы введем здесь -мерную меру в пространстве При эта мера обобщает понятие длины кривой, расположенной в при площади поверхности.

Пусть есть -мерная мера Лебега единичного шара в пространстве Очевидно, Приведем для справок рекуррентную формулу для вычисления

(см., например, [47, стр. 297]).

Пусть X — некоторое множество, расположенное в пространстве Покроем это множество последовательностью шаров Обозначим через радиус шара и составим сумму

(в случае, когда последовательность бесконечна, (8.1) есть, ряд; если этот ряд расходящийся, то мы считаем, что сумма (8.1) равна

Введем функцию множества

где точная нижняя грань берется по всем суммам (8.1), соответствующим покрытиям множества X последовательностью шаров радиусы которых меньше

Легко понять, что с уменьшением функция не убывает. Поэтому существует ее предел при Обозначим

Функция множества определенная равенством (8.3), называется внешней мерой Хаусдорфа.

Можно доказать, что если X есть ограниченное замкнутое множество, то не изменится, если мы будем рассматривать лишь покрытия конечными множествами шаров.

Приведем пример вычисления функции

Пример. Вычислим где X — окружность в пространстве Впишем в окружность правильный -угольник. Обозначим через его сторону. Тогда легко доказать, что есть периметр этого многоугольника. При получим, что есть длина окружности.

Приведем без доказательства некоторые утверждения, относящиеся к мере Хаусдорфа. Пусть некоторое борелевское множество в причем Примем 5 в качестве пространства, о котором шла речь в п. 6 при определении регулярной меры. Будем называть измеримыми по мере подмножества X пространства которые могут быть представлены в виде где — борелевское множество и Тогда оказывается, что все измеримые множества образуют -алгебру, на которой является регулярной мерой.

Если в качестве 5 взять шар в пространстве то определенная выше мера совпадает с -мерной мерой Лебега.