2. Анализ осредненного уравнения.

Предположим, что и рассмотрим задачу

когда

Также как и для параболического уравнения, решение монотонно возрастает и ограничено при тогда и только тогда, когда стационарное алгебраическое уравнение

шеет неотрицательное решение. Монотонность вытекает из того, что тродифференцированное по уравнение имеет решение

Поэтому если решение ограничено, то является стационарной точкой уравнения (2.1), т. е. корнем уравнения (2.3). Обратно, если корень уравнения (2.3), то есть стационарное решение уравнения (2.1) и ввиду имеем

Аналогично теореме 1 п. 2.2 уравнение (2.3) имеет неотрицательное решение при любом тогда и только тогда, когда

если предполагать существование конечного или бесконечного предела). Отсюда вытекает, что уравнение (2.3) разрешимо не при всех в том и только в том случае, когда

При этом критическим значением параметра х оказывается

В самом деле, при т. е. согласно (2.5) существует так, что значит, (2.3) разрешимо, а при т. е. согласно при всех так что (2.3) не имеет решения.

Если вспомнить, что то осредненное уравнение (2.1) дает для параметра X в исходной задаче (1.1), (1.2) в качестве критического значения

Согласно теореме 2 и. 2.2 X есть верхняя оценка для точного значения Таким образом, какова бы ни была функция удовлетворяющая условиям (2.2), (2.5), осреднение уравнения, т. е. допущение (1.7), приводит к увеличению значения до величины (2.7). Как и следовало ожидать, (2.7) дает точное асимптотическое значение для в случае третьей краевой задачи при

Используя идею осреднения, можно оценить интервал разрешимости задачи (1.1), (1.2) при Предположим, что

Тоследнее условие, говоря геометрическим языком, означает, что функция выпукла, т. е. график функции располагается выше касательной к любой точке графика (рис. 12).

Рис. 12

Аналитическим следствием этого условия является неравенство

при любых Предположим еще, что

Это условие означает, что функция возрастает при быстрее линейной функции, так что является неограниченной при и выполняется условие (2.5).

По-прежнему будет обозначать первое собственное значение задачи (1.2), (1.3), величину (2.5).

Теорема. При выполнении условий (2.8), (2.9), (2.11) обобщенное решение задачи (1.1), (1.2) при определено лишь в конечном интервале ( причем для верна оценка

и

Доказательство. Среднее значение решения в смысле (1.5), (1.4) удовлетворяет равенству (1.6). Предположение о выпуклости позволяет дать одностороннюю оценку Пусть в неравенстве Осредняя это неравенство согласно (1.5) с учетом имеем

Поэтому вместо приближенного осредненного уравнения мы имеем дифференциальное неравенство относительно

При т. е. при в силу условия (2.5) имеем поэтому обратная функция монотонно возрастает) удовлетворяет неравенству

Таким образом, определена лишь в некотором конечном интервале причем удовлетворяет неравенству (2.12) и при

В силу неравенства Коши — Буняковского для функции имеем

Отсюда следует, что при Поэтому решение не может существовать при Теорема доказана.

Замечание. При выполнении условий теоремы естественно ожидать, что решение задачи (1.1), (1.2) будет определено лишь в конечном интервале не только при к но и при

Примененный метод доказательства не позволяет, однако, утверждать большего.

В том случае, когда детальное поведение функции в области не представляет интереса, рассмотрение приближенного осредненного уравнения существенно упрощает решение задачи. Отметим, что аналогичная идея осреднения может быть применена и в ряде других случаев. Некоторые примеры применения (не только к параболическим уравнениям) такого метода осреднения читатель найдет в гл. X.