3. Операторы сжатия.

Оператор действующий в банаховом пространстве X, называется оператором сжатия, если существует такое число что

для любых двух элементов пространства X, принадлежащих области определения оператора А.

Если А — линейный оператор, то, очевидно, он является оператором сжатия при условии

Следующую теорему, доказанную Банахом, называют принципом сжатых отображений.

Теорема. Если оператор сжатия отображает замкнутое множество банахова пространства в себя, то он имеет единственную чеподвижную точку.

К этой точке сходятся последовательные приближения (2.1) при яюбой начальной точке

Доказательство. Из (2.1) в силу определения оператора сжатия имеем

При получаем отсюда

при

Продолжая так далее, получим

Пусть натуральные числа, Тогда из неравенства следует

Так как то мы можем для данного выбрать число столь большим, чтобы при выполнялось неравенство

При таком выборе мы получаем из (3.4), что при

Таким образом, последовательность является фундаментальной и в силу полноты пространства X сходящейся. Пусть Гак как множество замкнуто и то

Покажем, что х является неподвижной точкой оператора имеем

На основании (2.1) это можно записать в виде

Так как то для любого существует такое что

Из (3.5) имеем

Ввиду произвольности отсюда следует, что

Для полного доказательства теоремы остается доказать единственность неподвижной точки. Если две неподвижные точки, то

Так как то это неравенство возможно лишь при Теорема доказана.