3. Основные свойства интеграла.

1. Линейность. Если суммируемые функции, то где числа, также является суммируемой функцией, и имеет место равенство

для любого измеримого множества

Доказательство. Если и -определяющие последовательности для соответственно, то является определяющей последовательностью для Поэтому эта функция суммируема. Равенство (3.1) получается из соответствующего равенства для простых измеримых функций предельным переходом.

2. Оценка интеграла. Если -функция, суммируемая по мере суммируема по мере и имеет место оценка

Доказательство. Если есть определяющая последовательность для функции по мере то, очевидно, является определяющей последовательностью для функции по Отсюда следует суммируемость по Оценка (3.2) получается из соответствующей оценки для поостых измеримых функций предельным переходом.

3. Интеграл как функция множества. Пусть -суммируемая функция. Тогда функция множества

есть мера, определенная на -алгебре А, абсолютно непрерывная относительно Полная вариация меры имеет вид

Доказательство. То, что есть мера, доказано в п. 2. Ее абсолютная непрерывность следует из абсолютной непрерывности мер

(2.5). Остается доказать равенство (3.4). Так как по норме пространства то

По определению интеграла, стоящего в правой части равенства (3.4),

Последнее равенство написано на основании свойства 7 интеграла от простой функции Из (3.5) и (3.6) следует (3.4).

4. Положительность. Если неотрицательная суммируемая функция и неотрицательная мера, то

Это следует непосредственно из (3.2).

5. Монотонность. Пусть неотрицательные суммируемые функции, неотрицательная мера, измеримые множества, Тогда

Доказательство проводится точно так же, как для простых функций

Это равенство непосредственно следует из (1.1).

7. Если суммируемая функция, а — характеристическая функция измеримого множества то суммируема, и имеет место равенство

Доказательство. Если -определяющая последовательность для функции то, как легко непосредственно проверить, есть определяющая последовательность для функции Отсюда следует ее суммируемость. Равенство (3.8) получится, если интеграл в левой части представить как сумму интегралов по множеству

8. Если -неотрицательная суммируемая функция, неотрицательная мера и

то почти всюду на множестве 5 (последнее значит, что множество точек в которых имеет меру нуль).

Доказательство. Обозначим через множество всех тех для которых Тогда имеем

откуда следует, что Очевидно, множество всех тех для которых имеет вид так что что и доказывает утверждение.