2. Основная теорема.

Через будем обозначать абсолютную величину скаляра у, или длину вектора которая понимается как

Если — непрерывная функция (вектор-функция) в промежутке то через обозначается ее норма:

Рассмотрим промежуток в пространстве

Говорят, что функция (вектор-функция) определенная в этом промежутке, удовлетворяет условию Липшица по переменной х, если существует константа такая, что для любых двух точек вида этого промежутка

Упражнение Показать, что функция обладающая в промежутке (21) ограниченными частными производными по удовлетворяет условию Липшица по

Теорема. Пусть функция в системе (1.2) непрерывна в промежутке (2.1) и удовлетворяет условию Липшица по х. Тогда, какова бы ни была внутренняя точка промежутка (2.1), можно указать число такое, что в интервале существует и единственно решение системы (1.2).

Доказательство. Пусть промежуток (2.1), константа Липшица (см. для расстояние от точки до границы промежутка для внутренней точки Положим

Замечая, что решение системы (1.2) удовлетворяет интегральному соотношению

определим оператор

на непрерывных функциях в интервале К удовлетворяющих условию

Оператор (2.5) переводит в себя класс функций (2.6). В самом деле, непрерывная функция По определению чисел значения (см. (2.6)) при остаются в промежутке и по определению

Таким образом, условие (2.6) выполняется и для

Покажем, что А осуществляет сжатое отображение. Для любых двух непрерывных функций с условием (2.6) имеем согласно (2.5), (2.3) и по определению числа

На основании принципа сжатых отображений существует единственная неподвижная точка отображения которая удовлетворяет соотношению (2.4) и является, следовательно, решением системы (1.2) с начальным условием при Поскольку любое решение системы (1.2) согласно (2.4) есть неподвижная точка отображения (2.5), то теорема доказана.

Замечание 1. Теорема утверждает существование и единственность решения по обе стороны от При этом если точка является внутренней точкой промежутка то по теореме решение однозначно продолжается влево (вправо), причем в пределах промежутка интервал продолжения зависит только от расстояния от этой точки до границы промежутка (согласно пропорционален при достаточно малых Следовательно, решение продолжается и влево, и вправо от до выхода на границу промежутка

Если определена и непрерывна при всех и в любом конечном промежутке удовлетворяет условию Липшица по х, то, согласно сказанному, решение выходит при возрастании и уменьшении на границу любого конечного промежутка, т. е. решение определено в некотором открытом интервале причем либо либо при и аналогично либо либо при

Простой пример скалярного уравнения показывает, что возможны случаи как конечного, так и бесконечного Решение

определено в интервале при и в интервале

Замечание 2 Наряду с теоремой существования и единственности важное значение в теории дифференциальных уравнений имеет теорема о непрерывной зависимости решения от начального условия.

Каковы бы ни были положительное число и конечный замкнутый интервал из области определения решения можно указать число такое, что при любых решение определено на интервале и равномерно по

Оказывается, если в системе зависит от некоторого набора параметров является непрерывно дифференцируемой функцией всех своих аргументов, то решение является непрерывно дифференцируемой функцией всех своих аргументов во всей области существования решения [43].