§ 3. ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА
1. Определение евклидова пространства.
Линейное пространство 
называется евклидовым, если каждой паре векторов 
поставлено в соответствие число 
так, что удовлетворяются следующие условия:
Число 
называется скалярным произведением векторов х и у.
Примеры. 1. В пространстве 
скалярное произведение вводится так:
Легко проверяются все условия 
В дальнейшем под евклидовым пространством 
будет пониматься пространство 
со скалярным произведением (1.2).
2. Введем скалярное произведение в пространстве С. Если 
. Две непрерывные функции, заданные на отрезке [0, 1], то
По причине, которая будет объяснена в гл. II, пространство С с так введенным скалярным произведением будем обозначать 
Упражнения 1. Проверить выполнение условий 
для скалярного произведения (13).
2. Доказать, что наряду с (1.2) в пространстве 
может быть введено скалярное произведение равенством 
где — заданные положительные числа, х, у — векторы (1.1). Какое из условий 
нарушится, если не все 
положительны?
3. В пространстве С каждой паре функций 
поставим в соответствие число
где 
-заданная непрерывная функция Доказать, что (1.4) есть скалярное произведение, если 
и не является таковым, если 
принимает значения разных знаков.
