§ 3. ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА

1. Определение евклидова пространства.

Линейное пространство называется евклидовым, если каждой паре векторов поставлено в соответствие число так, что удовлетворяются следующие условия:

Число называется скалярным произведением векторов х и у.

Примеры. 1. В пространстве скалярное произведение вводится так:

Легко проверяются все условия

В дальнейшем под евклидовым пространством будет пониматься пространство со скалярным произведением (1.2).

2. Введем скалярное произведение в пространстве С. Если . Две непрерывные функции, заданные на отрезке [0, 1], то

По причине, которая будет объяснена в гл. II, пространство С с так введенным скалярным произведением будем обозначать

Упражнения 1. Проверить выполнение условий для скалярного произведения (13).

2. Доказать, что наряду с (1.2) в пространстве может быть введено скалярное произведение равенством где — заданные положительные числа, х, у — векторы (1.1). Какое из условий нарушится, если не все положительны?

3. В пространстве С каждой паре функций поставим в соответствие число

где -заданная непрерывная функция Доказать, что (1.4) есть скалярное произведение, если и не является таковым, если принимает значения разных знаков.