2. Сдвиговое течение.

Примером может служить течение между двумя соосными цилиндрами, один из которых вращается вокруг оси. В этом случае тензоры записанные в цилиндрических координатах, содержат лишь одну ненулевую компоненту Геометрия жидкости не меняется во времени, где - радиусы цилиндров, и в предположении система (1.1), (1.3) оказывается автономной системой двух уравнений. Пусть

При соотношение (2.1) называют формулой Рейнольдса. В общем случае можно считать, что -возрастающая функция, . С вводом безразмерных величин по формулам

уравнения (1.1), (1.3) запишутся в виде:

Эта система имеет одну точку равновесия в области являющуюся точкой пересечения кривых

или решением уравнений

Удобно анализировать систему (2.3), приняв в качестве параметров . Выражение исходных параметров через следует из (2.5):

Полагая и линеаризуя систему относительно получим

Матрица коэффициентов этой системы имеет определитель

т. е. мы имеем дело либо с «фокусом», либо с «узлом». Желая изучить возможность автоколебательных режимов, т. е. наличие периодических решений системы (2.3), мы особо будем интересоваться случаем

неустойчивости точки когда точка не может быть -предельной точкой ни для какого решения системы (2.3), отличного от След 5 матрицы системы (2.7) имеет вид

Отсюда видно, что область неустойчивости непуста в том и только в том случае, когда

Условие (2.9) накладывает некоторое ограничение на функцию Например, для линейной функции

и условие (2.9) не имеет места. Для условие (2.9), очевидно, имеет место, и в этом случае особенно просто выглядит область неустойчивости точки т. е. область

Из (2.6) следует, что параметры остаются в некоторой ограниченной области плоскости когда пробегают область (2.10).

Очевидно, условие (2.9) имеет место всегда, когда растет на бесконечности быстрее линейной функции. Однако это условие не необходимо. Например, для ограниченной функции условие (2.9) имеет место при

Покажем, что в том случае, когда точка равновесия неустойчива, система (2.3) обязательно имеет периодическое решение. Условие (2.9), таким образом, оказывается условием существования периодического решения системы (2.3). Согласно теореме для этого достаточно показать, что хотя бы одно решение системы (2.3), отличное от точки равновесия, при остается в ограниченной части плоскости

Покажем, что при любых значениях или можно указать такую область фазовой плоскости что ни одно решение системы (2.3), попавшее в область, не покидает ее. Этого, очевидно, достаточно для существования замкнутой траектории.

Всю область изменения параметров можно разбить на две области:

1. Для функций (2.4) имеет место неравенство (см. рис. 18)

Рис. 18

Рис. 19

Рассмотрим прямоугольник Исследуя направление вектора фазовой скорости системы (2.3) вдоль границы прямоугольника, убеждаемся, что в каждой точке границы поле скоростей направлено во внутрь прямоугольника. Следовательно, ни одна траектория не может покинуть этот прямоугольник.

2. Для функций (2.4) имеет место (см. рис. 19)

Рассмотрим фигуру где есть отрезок прямой

согласно (2.5). Поле фазовых скоростей по-прежнему направлено во внутрь фигуры на участках границы, совпадающих с какой-либо из координатных осей или параллельных им. Остается исследовать участок Вдоль

поэтому

Это показывает, что и на участке поле фазовых скоростей направлено во внутрь фигуры. Следовательно, траектории, попавшие в область не могут ее покинуть.

Таким образом, при любых значениях параметров у. и или существуют непостоянные траектории, остающиеся в ограниченной части плоскости. Согласно теореме в случае неустойчивости (сто, т. е. при выполнении условий (2.9) и (см. (2.8)), система (2.3) имеет периодическое (автоколебательное) решение.

Существуют и затухающие колебательные режимы, отвечающие случаю устойчивого «фокуса»: Однако они не столь интересны, и подробно описывать область затухающих колебаний мы не будем.