10. Пространство (М) ограниченных функций.

В п. 2.3 было рассмотрено линейное пространство ограниченных функций, заданных на некотором множестве Покажем, что в этом пространстве можно ввести норму так, что оно станет полным нормированным пространством. Именно, пусть Тогда положим

Выражение, стоящее в правой части, нужно понимать так Рассмотрим множество вещественных чисел когда х пробегает все множество X, которое в силу ограниченности функции является ограниченным. Выражение, стоящее в правой части (10.1), есть точная Есрхняя грань этого множества.

Таким образом, имеет место неравенство

при всех Кроме того, в силу свойства точной верхней грани (см. п. 1.3) для любой константы К такси, что при всех имеет место неравенство

Покажем, что норма, введенная равенством (10.1), удовлетворяет ссем аксиомам нормы :

1) Ясно, что Пусть Тогда из (10.2) получаем при всех т. е. есть нулевой элемент пространства

2) Покажем, что для любого вещественного числа а имеет место равенство

При равенство очевидно. Пусть Умножая (10.2) на получаем при всех Следовательно,

Так как это неравенство справедливо при всех вещественных числах а и любых то можно записать

Сравнивая это с (10.4), получаем (10.3).

3) Пусть Требуется доказать, что

В силу (10.2) при всех имеем

Взяв точную верхнюю грань, получим (10.5). Итак, доказано, что есть нормированное пространство с нормой (10.1).

Докажем, что есть полное пространство. Пусть задана фундаментальная последовательность элементов пространства Это значит, что для любого числа существует число такое, что

при Из получаем

т. е.

При каждом есть числовая последовательность, и из неравенства (10.7) следует, что она фундаментальна. Ввиду полноты пространства существует число такое, что при Так как произвольный элемент множества X, то определена функция на множестве

Перейдем в неравенстве (10.7) к пределу при Получим

при всех Отсюда а так как есть ограниченная функция, то есть также ограниченная функция, Взяв в неравенстве (10.8) точную верхнюю грань, иолучим

при всех Отсюда следует, что при Итак, доказано, что есть сходящаяся последовательность, т. е. пространство полное.

Выясним, что значит сходимость по норме (10.1). Пусть последовательность функций из сходится по норме к функции Это значит, что для любого существует номер такой, что при т. е.

Отсюда следует: для любого числа можно указать такой номер что при всех выполняется неравенство

при всех Такая сходимость называется равномерной сходимостью последовательности функций. Обратно, если последовательность сходится к равномерно, то, взяв в (10.10) точную верхнюю грань, получим (10.9), т. е. имеет место сходимость по норме (10.1). Таким образом, доказано, что сходимость по норме пространства есть равномерная сходимость последовательности функций.

Ясно, что если последовательность функций сходится равномерно, то она сходится при каждом Обратное — неверно. Например, на интервале последовательность сходится к нулю в каждой точке. Однако эта сходимость не является равномерной. Читателю, не знакомому с понятием равномерной сходимости, можно рекомендовать подробно разобрать приведенный пример, чтобы увидеть различие между равномерной и поточечной сходимостью. Для сравнения можно рассмотреть ту же последовательность функций на отрезке а, где и проверить, что на этом отрезке сходимость равномерная.

Мы рассмотрели функции, заданные на произвольном множестве X со значениями в множестве вещественных чисел. Для различных приложений важны более общие классы функций, функции со значениями в линейном пространстве. Обозначим через множество всех функций заданных на множестве X, со значением в заданном линейном пространстве У (см. п. 1.4). Ясно, как определить сумму двух таких функций и произведение функции на вещественное число. Именно, если а — вещественное число, то есть функция, которая точке ставит в соответствие элемент пространства У. Следующие утверждения (они подчеркнуты) доказываются точно так же, как для функций со значениями в множестве вещественных чисел. Рекомендуем их доказать самостоятельно.

При указанных операциях сложения и умножения на числа есть линейное пространство, нулевым элементом которого является функция которая при всех принимает значения нуль пространства

Если нормированное пространство (норму в этом пространстве обозначим то вводится понятие ограниченной функции: функция называется ограниченной, если существует такое число О, что при всех Множество ограниченных функций со значениями в нормированном пространстве образуют линейное пространство (подпространство в В пространстве можно ввести норму

Пространство с нормой (10.11) является нормированным. Это пространство полное, если полное пространство.