Главная > Анализ в классах разрывных функций и уравнения математической физики
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

4. Положительность решений.

Аналогично эллиптическим уравнениям граничная задача для параболических уравнений обладает свойством положительности, особенно важным при изучении нелинейных уравнений.

Теорема. Пусть выполнено условие (2.6) и функция такова, что при любой неотрицательной функции

Пусть, кроме того,

и по некоторой последовательности

Тогда почти всюду в области Доказательство. Рассмотрим сначала тот случай, когда

и, вопреки утверждению теоремы, предположим, что на множестве положительной меры в области Положим

Очевидно, на множестве При этом вместе с и в силу условия Поэтому (4.1) имеет место при С учетом равенства

(см. п. VII.6.1) и условия (2.6) имеем

Согласно (4.3) первый интеграл стремится к нулю при поэтому согласно (4.4) и предположению относительно и правая часть (4.5) отрицательна при достаточно малых что противоречит условию (4.1). Таким образом, в предположении (4.4) теорема доказана.

Общий случай сводится к уже доказанному. В самом деле, в силу ограниченности всегда можно указать постоянную такую, что (4.4) выполняется для функции Для функции

очевидно, выполнены условия (4.2), (4.3). Кроме того, для

в силу условия (4.1) для Таким образом, для функции выполнены все условия теоремы плюс условие (4.4) для нового коэффициента с По доказанному почти всюду в области Согласно (4.6) это же имеет место и для Теорема доказана.

Из этой теоремы вытекают важные следствия, касающиеся решения задачи

Следствие 1. (теорема о положительности). При решение задачи неотрицательно почти всюду в области

В самом деле, решение удовлетворяет условию (4.1) в силу равенства (2.2). Условие (4.1) вытекает из первого условия (2.8). Кроме того, в силу и для и для имеет место (2.4). Отсюда, очевидно, следует условие (4.3), так что по теореме почти всюду в области

В силу линейности уравнения и граничных условий это же свойство решения можно сформулировать, очевидно, в виде следующего принципа монотонности.

Увеличение (уменьшение) хотя бы одной из функций приводит к увеличению (уменьшению) решения задачи

Следствие 2 (теорема единственности). Решение задачи единственно.

Если допустить, что существует более одного решения задачи то разности любых двух решений являются, очевидно, решениями задачи при Согласно следствию 1 почти всюду должны выполняться оба неравенства

откуда следует почти всюду. Мы имеем, таким образом, другое доказательство теоремы единственности (ср. п. 3). Важнее, однако, то, что можно получить другую оценку решения.

Следствие 3 (теорема об ограниченности). Пусть и существуют константы такие, что

и либо

Тогда решение задачи ограниченно и почти всюду в области имеет место оценка

Доказательство. Положим для краткости и рассмотрим функцию Очевидно, удовлетворяет условиям (4.2), (4.3). Далее

Так как по предположению

то с учетом равенства (2.2) для при имеем

Отсюда для функции следует условие (4.1). Согласно теореме почти всюду в Следовательно, почти всюду в что равносильно (4.7).

Предположение несущественно. Ограниченность и оценку решения можно получить и без этого предположения, но в дальнейшем нам это не понадобится.

1
Оглавление
email@scask.ru