4. Положительность решений.

Аналогично эллиптическим уравнениям граничная задача для параболических уравнений обладает свойством положительности, особенно важным при изучении нелинейных уравнений.

Теорема. Пусть выполнено условие (2.6) и функция такова, что при любой неотрицательной функции

Пусть, кроме того,

и по некоторой последовательности

Тогда почти всюду в области Доказательство. Рассмотрим сначала тот случай, когда

и, вопреки утверждению теоремы, предположим, что на множестве положительной меры в области Положим

Очевидно, на множестве При этом вместе с и в силу условия Поэтому (4.1) имеет место при С учетом равенства

(см. п. VII.6.1) и условия (2.6) имеем

Согласно (4.3) первый интеграл стремится к нулю при поэтому согласно (4.4) и предположению относительно и правая часть (4.5) отрицательна при достаточно малых что противоречит условию (4.1). Таким образом, в предположении (4.4) теорема доказана.

Общий случай сводится к уже доказанному. В самом деле, в силу ограниченности всегда можно указать постоянную такую, что (4.4) выполняется для функции Для функции

очевидно, выполнены условия (4.2), (4.3). Кроме того, для

в силу условия (4.1) для Таким образом, для функции выполнены все условия теоремы плюс условие (4.4) для нового коэффициента с По доказанному почти всюду в области Согласно (4.6) это же имеет место и для Теорема доказана.

Из этой теоремы вытекают важные следствия, касающиеся решения задачи

Следствие 1. (теорема о положительности). При решение задачи неотрицательно почти всюду в области

В самом деле, решение удовлетворяет условию (4.1) в силу равенства (2.2). Условие (4.1) вытекает из первого условия (2.8). Кроме того, в силу и для и для имеет место (2.4). Отсюда, очевидно, следует условие (4.3), так что по теореме почти всюду в области

В силу линейности уравнения и граничных условий это же свойство решения можно сформулировать, очевидно, в виде следующего принципа монотонности.

Увеличение (уменьшение) хотя бы одной из функций приводит к увеличению (уменьшению) решения задачи

Следствие 2 (теорема единственности). Решение задачи единственно.

Если допустить, что существует более одного решения задачи то разности любых двух решений являются, очевидно, решениями задачи при Согласно следствию 1 почти всюду должны выполняться оба неравенства

откуда следует почти всюду. Мы имеем, таким образом, другое доказательство теоремы единственности (ср. п. 3). Важнее, однако, то, что можно получить другую оценку решения.

Следствие 3 (теорема об ограниченности). Пусть и существуют константы такие, что

и либо

Тогда решение задачи ограниченно и почти всюду в области имеет место оценка

Доказательство. Положим для краткости и рассмотрим функцию Очевидно, удовлетворяет условиям (4.2), (4.3). Далее

Так как по предположению

то с учетом равенства (2.2) для при имеем

Отсюда для функции следует условие (4.1). Согласно теореме почти всюду в Следовательно, почти всюду в что равносильно (4.7).

Предположение несущественно. Ограниченность и оценку решения можно получить и без этого предположения, но в дальнейшем нам это не понадобится.