3. Ограниченные множества.
В отличие от и 1.2, где речь шла о множествах произвольной природы, здесь мы будем рассматривать множества, элементами которых являются вещественные числа.
Пусть X — некоторое подмножество множества вещественных чисел. Множество X называется ограниченным сверху, если существует такое число К, что выполняется неравенство
для всех элементов х множества 
При этом число К называется верхней гранью множества 
Назовем точной верхней гранью множества X число 
такое, что:
2) для любого числа 
найдется элемент х множества X такой, что
Пример. Пусть X есть множество всех отрицательных рациональных чисел. Тогда точная верхняя грань множества X есть число нуль.
Легко видеть, что точная верхняя грань Ко множества X есть наименьшая из его верхних граней. Действительно, из (3.1) и (3.2) следует 
для любого числа 
следовательно, 
Точная верхняя грань множества X обозначается 
(читается 
При построении теории вещественных чисел существование точной верхней грани для каждого ограниченного сверху подмножества множества вещественных чисел принимается в качестве аксиомы полноты множества вещественных чисел.
Понятия множества, ограниченного снизу, нижней грани и точной нижней грани вводятся совершенно аналогично. Именно, множество X называется ограниченным снизу, если существует число 
такое, что выполняется неравенство 
для всех 
Число 
называется точной нижней гранью множества X, если:
2) для любого числа 
найдется элемент х множества X такой, что
Как и выше, доказывается, что точная нижняя грань есть наибольшая из нижних граней. Точная нижняя грань обозначается 
(читается 
