6. Случай ... Разрешимость.

В теореме п. 5 требовалось существование ограниченного решения Естественно возникает вопрос, когда это имеет место? Этот вопрос оказывается трудным, но и весьма интересным В случае линейной функции совпадает с первым собственным значением однородной задачи и потому при не имеет решения при . С другой стороны, первая краевая задача

в единичном круге: как будет показано в имеет два решения при

которые при сливаются и определяют ограниченное решение

Аналогично положение и в одномерном случае задачи (6.1). Исследование задачи (6.1) в сферических областях произвольной размерности проведенное в XI.2, показывает, что ограниченное решение существует при При (размерность 10 и выше) обобщенное решение хотя и существует, но перестает быть ограниченным Как показано в XI 2 3, при имеет место

Этот пример показывает, что вопрос о существовании ограниченного является весьма тонким, зависящим как от поведения функции так и от размерности пространства.

Мы ограничимся тем, что при определенных ограничениях на функцию в задаче (4.1) покажем существование обобщенного решения этой задачи при в некотором более слабом смысле, чем в определении п. 1.1. Теорема. Пусть выполнены следующие условия:

и пусть минимальное положительное решение задачи (4.1). Тогда почти всюду в области существует предел

удовлетворяющий следующему равенству:

где произвольная гладкая функция, удовлетворяющая граничным условиям (4.1).

Доказательство. собственную функцию задачи

пронормируем так, чтобы

Тогда формула

определяет некоторое среднее значение функции Аналогично (2.2.3) для решения с учетом обозначения (6.6) имеем

где — первое собственное значение задачи (6 5). Из свойства выпуклости следует

Осредняя это неравенство по формуле (6 6), получаем и из (6.7) имеем, следовательно,

Таким образом, при алгебраическое уравнение

имеет решение (в силу условия при Пусть — максимальный положительный корень уравнения (6.9) Тогда при таким образом, из (6 8) вытекает неравенство их Так как с увеличением возрастает, а убывает, то существует не зависящее от X число ограничивающее

Таким образом, интеграл (66) монотонно возрастающего семейства функций оказывается ограниченным. Следовательно, при почти всех существует предел (63), суммируемый с весом Из условия и равенства (6 7) следует, что таковым является и предел

Далее, для любой гладкой функции удовлетворяющей граничным условиям (4 1), тождества (1 1.7) для их и формулы Грина следует равенство

Переходя к пределу при получим (6.4) Теорема доказана.

Ясно, что если семейство функций их равномерно ограничено, то функция ограничена и является обобщенным решением задачи (4.1) при в смысле определения п. 1.1. Это следует из представления (1.110) для если учесть, что (6.11) в этом случае имеет место и в

Заметим, что неограниченное решение может существовать и при Например, задача (6 1) в шаре размерности всегда имеет решение

при причем при (см. ). Другое дело, что при всегда есть и ограниченное решение.