7. Теорема о среднем значении.
Пусть 
функция, гармоническая на некотором открытом множестве 
— сфера 
причем шар 
принадлежит множеству 
Тогда
Короче: значение гармонической функции в центре сферы равно ее среднему значению по этой сфере.
Доказательство. Применим формулу (3.20) к функции и 
и шару 
Так как 
— гладкая функция, то интегралы, входящие в эту формулу, существуют и 
Следовательно, имеет место равенство
В первом интеграле можно перебросить дифференцирование с 
на и. Тогда, учитывая, что и есть гармоническая функция, получим
Но очевидно,
Поэтому, так как 
есть константа при 
получаем, что первый интеграл в (7.2) равен нулю. Из (7.2) и (3.10) следует (7.1). Теорема доказана.
