5. Открытые и замкнутые множества.

Будем рассматривать множества, точками которого являются элементы данного нормированного пространства В. Дадим основные определения. Под расстоянием Лежду двумя точками х ее будем понимать норму их разности:

Из свойств нормы следует (свойство симметрии расстояния).

1 Открытым шаром в пространстве В с центром в точке о и радиуса будем называть множество точек расстояние которых до о меньше

-Окрестностью точки будем называть открытый шар с центром в точке радиуса Множество называется открытым, если каждая точка этого множества имеет окрестность, принадлежащую этому множеству. Таким образом, множество является открытым тогда и только тогда, когда для каждой точки можно указать число такое, что все точки х, принадлежащие шару (5.1), являются точками множества

Пусть А — произвольное множество элементов пространства В. Дополнением множества А до пространства В называется множество точек пространства В, не принадлежащих А. Дополнение множества А будет обозначаться Очевидно,

Множество называется замкнутым, если его дополнение является открытым множеством. Очевидно, если открытое множество, то замкнуто, так как

Теорема. Множество является замкнутым тогда и только тогда, когда каждая сходящаяся последовательность элементов множества имеет своим пределом точку множества

Доказательство. Пусть замкнутое множество. Зададим произвольную последовательность элементов множества сходящуюся к некоторой точке 0. Требуется доказать, что Предположим противное. Так как множество открытое, то в содержится некоторая окрестность точки о. В этой окрестности не могут находиться точки что противоречит предположению о сходимости последовательности к точке о. Таким образом, доказано, что ее

Обратно, пусть каждая сходящаяся последовательность элементов множества имеет своим пределом точку множества Докажем, что замкнуто, т. е. что открытое множество. Предположим противное. Это значит, что найдется такая точка что в любой ее окрестности имеются точки множества Построим последовательность точек множества сходящуюся к 0. В качестве возьмем произвольную точку множества Пусть точки уже построены. Тогда в качестве возьмем точку множества удовлетворяющую условию

Из неравенства (5.2) следует, что для построенной последовательности имеем Следовательно, т. е. Итак, есть предел последовательности точек множества Следовательно, по предположению что

невозможно, так как Полученное противоречие доказывает теорему.

В качестве примера применения этой теоремы докажем, что сфера радиуса с центром в точке т. е. множество точек, удовлетворяющих равенству

является замкнутым. Действительно, пусть задана последовательность точек сферы сходящаяся к точке Так как то, переходя в этом равенстве к пределу (см. п. 3, упражнение), получим т. е. Следовательно, замкнутое множество.

Пусть А — произвольное множество элементов пространства В. Границей множества А называется множество точек, в каждой окрестности которых содержатся точки множества А и его дополнения С А. Таким образом, точка принадлежит границе множества А тогда и только тогда, когда в каждой окрестности точки содержатся точки, принадлежащие множеству А, и точки, не принадлежащие ему.

Докажем, что граница множества А является замкнутым множеством. Пусть задана последовательность точек множества и пусть Требуется доказать, что Обозначим через произвольную окрестность точки Тогда найдется такой номер что Так как открытое множество, то существует окрестность V точки принадлежащая Ввиду того что есть точка границы в ее окрестности V имеются точки хеел и Следовательно, х и у принадлежат окрестности точки а так как в качестве была выбрана произвольная окрестность, то Хоее-г.

Упражнение. Доказать, что сфера (5 3) является границей шара (5.1)

Указание. При рассмотреть множество точек где вещественные числа, удовлетворяющие неравенству