2. Граничные задачи.

Каждое из приведенных в предыдущем пункте эллиптических уравнений имеет бесконечное множество решений. Примеры этому мы увидим в дальнейшем, когда будем строить фундаментальное решение уравнения Лапласа. Это, впрочем, видно и из физического смысла этих уравнений. Действительно, как уже было отмечено, уравнение Лапласа описывает стационарное распределение температуры в теле. Однако в одном и том же теле может быть бесконечное множество стационарных распределений температуры. Все зависит от того, каковы характеристики той внешней среды, в которую помещено это тело. Влияние внешней среды часто может быть описано условиями на границе тела. Вот почему наряду с уравнениями, описывающими процессы, происходящие внутри тела, задаются условия на границе. Задача нахождения решения эллиптического уравнения при заданных граничных условиях называется граничной задачей.

Приведем важнейшие примеры граничных задач.

1. Первая краевая задача (или задача Дирихле) состоит в нахождении решения и уравнения (1.5), если известно значение этого решения во всех точках границы:

где граница области заданная функция.

Физический смысл этой задачи в случае теплопроводности состоит в нахождении стационарного распределения температуры в теле, если известно, какая температура поддерживается на поверхности этого тела.

Прежде чем формулировать остальные задачи, введем обозначения, которые будут использоваться и в дальнейшем. Пусть — вектор внешней нормали к границе 5 в точке

Обозначим

где произвольная точка границы коэффициенты уравнения (1.5).

В частности, для уравнения Лапласа получаем

Но правая часть этого равенства есть производная функции и по направлению внешней нормали. Поэтому (2.4) можно записать также в виде

2. Вторая краевая задача (или задача Неймана) состоит в нахождении решения и уравнения (1.5) при условии на границе

где заданная функция.

Физический смысл этой задачи в случае теплопроводности состоит в нахождении стационарного распределения температуры в теле, если задан тепловой поток на поверхности тела.

3. Третья краевая задача состоит в нахождении решения и уравнения (1.5) при условии на границе

где заданные функции.

К такой задаче приводит нас, например, определение стационарно-то распределения температуры в теле, если происходит теплообмен с окружающей средой по закону Ньютона:

где — температура окружающей среды.

Можно рассмотреть более общую постановку граничной задачи, когда граница 5 состоит из двух частей — на каждой из которых задается свое граничное условие.

4. Смешанная задача (задача А) состоит в нахождении решения и уравнения (1.5) при следующих условиях на границе:

где — функции, заданные на соответственно. При этом предполагается, что не имеют общих точек:

Мы не исключаем случая, когда одно из множеств или является пустым, так что второе совпадает со всей границей Ясно, что задача А содержит как частные случаи все рассмотренные выше задачи. Именно, первая краевая задача получится при вторая — при третья — при Поэтому в дальнейшем мы будем заниматься только задачей А, рассматривая другие в случае надобности как примеры.