1. Интегрирование простых измеримых функций.

Макеты страниц

§ 3. ИНТЕГРАЛ

При построении интеграла понадобится умножать измеримые функции на меры. При этом мы будем предполагать, что либо измеримые функции принимают значения в банаховом пространстве В, а меры берутся со значениями в пространстве вещественных чисел, либо, наоборот, измеримые функции являются вещественными, а меры берутся со значениями в В. В обоих случаях произведение функции на меру есть элемент пространства В. Все дальнейшие рассуждения будут одинаковыми в обоих случаях.

1. Интегрирование простых измеримых функций.

Пусть заданы: множество мера определенная на некоторой -алгебре А подмножеств множества (измеримых множеств), и простая измеримая функция (2.2.2.).

Определение. Интегралом от функции по измеримому множеству называется элемент пространства В, задаваемый равенством

Здесь и иногда в дальнейшем для сокращения записи пересечение множеств обозначаются вместо

Для оправдания данного выше определения требуется доказать, что интеграл не зависит от способа задания функции Пусть наряду с представлением (2.2.2) функция записывается в виде

Ясно, что на пересечении имеет место равенство Поэтому ввиду аддитивности меры

Независимость интеграла (1.1) от способа задания функции доказана.

Укажем некоторые свойства интеграла от простых измеримых функций.

1. Линейность.

где две простые измеримые функции, вещественные числа.

Доказательство. Пусть функции задаются равенствами (2.2.2) и (2.2.5). Тогда на основании (2.2.6) имеем

Линейность доказана.

Наряду с мерой х будем рассматривать ее полную вариацию которая также является мерой, определенной на -алгебре А. Заметим, что если есть простая измеримая функция (2.2.2), то есть также простая измеримая функция:

Следовательно, определен интеграл

Отсюда и из неравенства (1.3.2) следует оценка интеграла.

2. Оценка интеграла.

где

3. Аддитивность. Интеграл (1.1) может рассматриваться как функция множества Покажем, что эта функция аддитивна, т. е. если то

Доказательство. Очевидно, Подставляя в (1.1), получим (1.5).

4. Положительность. Если принимают вещественные неотрицательные значения, то

Это следует непосредственно из (1.1.)

5. Монотонность. Пусть неотрицательные простые измеримые функции, причем

Пусть, далее, мера неотрицательна, два измеримых множества, Тогда

На основании свойств и 4 мы можем записать следующую цепочку неравенств:

что и требовалось доказать.

6. Предельный переход под знаком интеграла. Если последовательность простых измеримых функций фундаментальна

и почти всюду сходится к нулю: то

для любого измеримого множества

Доказательство. Пусть произвольное положительное число. Ввиду фундаментальности последовательности существует такое число что

при .

Зафиксируем некоторое число и обозначим (см. (2.1.1))

Так как по условию последовательность сходится к нулю почти всюду на то по теореме Егорова она сходится к нулю почти равномерно. Это значит, что существует измеримое множество X такое, что и последовательность сходится к нулю на равномерно. Имеем

Отсюда, из (1.6) и (1.7) получаем для всех

Выберем теперь столь большим, чтобы при выполнялось не только неравенство (1.8), но также и неравенство

что возможно ввиу равномерной сходимости к нулю последовательности на множестве Мы получаем следующую оценку при всех

На основании (1.8) и (1.9) отсюда следует

что и требовалось доказать.

7. Интеграл как функция множества. Пусть -заданная простая измеримая функция. Тогда функция множества

есть мера, определенная на -алгебре А. Полная вариация этой меры имеет вид

Мера абсолютно непрерывна Относительно Доказательство. Аддитивность функции доказана выше (свойство 3). Пусть -возрастающая последовательность множеств, Положим Тогда имеем Из определения интеграла (1.1) получаем Таким образом, доказано, что есть мера.