5. Квадратичные формы.
Пусть 
линейный ограниченный самосопряженный оператор, действующий в гияьбертовом пространстве 
Функцию
определенную на всех элементах х пространства X, будем называть квадратичной формой.
Теорема. 
Доказательство. Обозначим
Так как при 
имеет место неравенство
то
Докажем обратное неравенство. Имеем для любых 
Вычитая эти равенства, получим
Заметим, что для любого вектора 
имеет место оценка
Пользуясь этой оценкой, мы получаем из (5.4)
Таким образом,
Пусть теперь 
где а — произвольное вещественное число. Подстановка в (5.5) дает
Мы получили квадратный трехчлен, неотрицательный при всех а. Поэтому имеет место неравенство для его дискриминанта
Отсюда следует
и поэтому 
Сравнивая это с неравенством (5.3), получаем окончательно 
Теорема доказана.
