5. Ряды Фурье.

Пусть бесконечномерное евклидово пространство, элемент этого пространства. Пусть, далее, в задана ортонормированная система векторов (1.1). Числа

ьазываются коэффициентами Фурье элемента по системе (1.1). Заметим, что в конечномерном пространстве именно такой вид имели коэффициенты (3.4) разложения (3.3). Возникает вопрос, не будет ли иметь место аналогичное разложение в бесконечномерном пространстве:

Оказывается, это действительно так, если последовательность (1.1) является полной (см. п. 4.7). Именно, имеет место следующая теорема.

Георема. Пусть задана полная ортонормированная система (1.1) в евклидовом пространстве произвольный элемент этого пространства, его коэффициенты Фурье по системе (1.1). Тогда ряд сходится и имеет место равенство (5.2).

Доказательство. Обозначим

Требуется доказать, что для любого числа можно указать такой номер что при имеет место неравенство — Ввиду глотности линейной оболочки системы (1.1) в пространстве (см. п. 4.7) существует такой вектор что — Обозначим через линейную оболочку первых векторов системы (1.1). Тогда, очевидно, при и так как есть проекция элемента х на подпространство то Теорема доказана.

Ряд (5.2) называется рядом Фурье элемента х по системе (1.1). Ряд Фурье является обобщением равенства (3.3) на бесконечномерные пространства. Покажем, что равенство (3.5) также обобщается. Именно, при тех предположениях, которые сформулированы в теореме, имеет место равенство

Оно называется равенством Парсеваля. Докажем его. Применяя те же обозначения, что и при доказательстве теоремы, и учитывая равенство (4.17) для проекции вектора, получим

как то отсюда следует (5.4).