§ 3. ПРОСТРАНСТВО BV2

1. Пространство ...

Пусть - открытое множество в пространстве Пространство функций, заданных на множестве суммируемых в квадрате и имеющих первые обобщенные производные, суммируемые в квадрате, будем обозначать Легко непосредственно проверить, что является линейным пространством. Для любых двух функций определим скалярное произведение следующим образом:

Существование интегралов, входящих в (1.1), следует из теоремы

Норма в пространстве определяется равенством

Пространство с нормой (1.2) является полным [48]. Таким образом, является гильбертовым пространством.

2. Пространство BV2.

Пространство, которое будет сейчас введено, использует поведение функций на границе. Поэтому мы будем рассматривать не произвольные открытые множества, а множества с конечным периметром.

Пусть ограниченное открытое множество с конечным периметром, 5 — его существенная граница. Для простоты мы будем предполагать множество связным. Это значит, что любые две его точки можно соединить ломаной линией, целиком лежащей в

Пространство есть пространство функций заданных в равных нулю вне множества и удовлетворяющих следующим условиям:

имеет суммируемые в квадрате обобщенные производные в

3) внутренний след на 5 суммируем в квадрате по мере

Иногда, чтобы указать, в какой области ведутся рассмотрения, мы будем писать

Ясно, что является линейным пространством. Скалярное произведение в вводится следующим образом: для любых двух функций полагаем

Проверим, что выполняются аксиомы скалярного произведения. Очевидно, Пусть Тогда

и

Ввиду связности множества из (2.2) мы заключаем, что естъ константа. Из (2.3) следует, что эта константа равна нулю. Остальные аксиомы скалярного произведения очевидны.

Норма в пространстве задается равенством

3. Оценка нормы.

На функциях принадлежащих пространству введем норму

Здесь интегрирование распространяется но всему пространству и понимается как полная вариация меры на пространстве Обозначим норму, заданную равенством (2.4), через

Теорема. Существует константа К такая, что для любой функции имеет место оценка

Доказательство. Имеем

где дополнение множества до всего пространства.

Оценим каждое слагаемое. Легко видеть в силу определения пространства что первый из интегралов можно трактовать не только как полную вариацию меры на множестве но также как интеграл

где под знаком интеграла стоят функции обобщенные производные, которые по предположению суммируемы в квадрате. Применяя к этому интегралу неравенство Коши — Буняковского, получим

где мера Лебега множества Далее, по формуле (1.4.4) имеем

так как Здесь В — произвольное борелевское множество, принадлежащее внутренняя нормаль.

Взяв полную вариацию мер (3.6) на получим

Из неравенства Коши — Буняковского теперь следует

Рассмотрим последнее слагаемое в (3.3). Пользуясь формулой Грина (1.4.2), получим для любого множества с конечным периметром, принадлежащего множеству

где существенная граница множества Отсюда следует, что последнее слагаемое в (3.3) равно нулю.

Поэтому из (3.3), (3.5) и (3.8) заключаем, что имеют место следующие неравенства:

Теорема доказана.

4. Полнота.

Теорема. Пространство является полным пространством.

Доказательство. Пусть фундаментальная последовательность в пространстве . В силу неравенства (3.2) эта последовательность является также фундаментальной в пространстве Ввиду полноты этого пространства существует функция такая, что

Отсюда, в частности, следует, что для любой финитной в непрерывной функции имеем

С другой стороны, так как последовательность фундаментальна в то существует функция такая, что

Отсюда и из (4.2) заключаем, что так что

Рассмотрим пространство функций, суммируемых в квадрате на по мере Последовательность является фундаментальной в этом пространстве. Поэтому существует функция ее такая,

Но в силу (3.3), (3.7) и (4.1) имеем

Так как на основании (4.5)

то из (4.6) мы можем заключить, что Подстановка в (4.5) дает

Из (4.4) и (4.7) получаем

Из (4.1) легко также получить, что вне множества почти всюду. Теорема доказана.

5. Вложение в пространство L2

Теорема. Если функция принадлежит пространству то она принадлежит также пространству и имеет место оценка

где константа не зависит от .

Доказательство. Рассмотрим сначала одномерный случай. Так как множество имеет конечный периметр, то состоит из конечного числа попарно не пересекающихся отрезков: где Пусть Тогда

где — левая граничная точка того интервала, которому принадлежит х. Из (5.2) имеем

Следовательно,

где

Складывая неравенства (5.3) по всем получим

Таким образом, неравенство (5.1) в одномерном случае доказано. Рассмотрим многомерный случай. Пусть где Обозначим через сечение множества прямой, параллельной оси и проходящей через точку х. Так как есть множество с конечным периметром, то при почти всех х (по -мерной мере на плоскости сечения состоят из конечного числа отрезков. При каждом таком х на основании доказанного равенства (5.4) имеем

Ясно, что ввиду ограниченности множества функция ограничена: Подставив в (5.5) вместо число К и проинтегрировав по х, получим

проекция множества на плоскость

Можно показать (см, [12]), что с точностью до множества -мерной меры нуль все точки принадлежат существенной границе есть внутренний след функции и. Поэтому

Подставив в (5.6), получим оценку (5.1). Теорема доказана.