Главная > Анализ в классах разрывных функций и уравнения математической физики
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3. Дифференцирование суперпозиции.

Пусть задана суперпозиция функций (2.1). Если и -непрерывно дифференцируемые Функции, то, как известно, имеет место формула

где обозначено

Мы уже видели в что для разрывных функций эта формула неверна. Однако она становится верной, если в правую часть вместо суперпозиции подставить усредненную суперпозицию

Теорема. Пусть функция, заданная при всех и непрерывная и непрерывно дифференцируемая. Пусть, далее и усредненная суперпозиция локально суммируема по мере Тогда и имеет место формула

Мы ограничимся доказательством лишь одного частного случая этой формулы — формулы дифференцирования произведения, которое будет приведено в следующем пункте. Доказательство теоремы в общем виде имеется в [12].

Сделаем некоторые пояснения по поводу формулы (3.2). Локальную суммируемость функции по мере следует понимать как существование интеграла

для любого ограниченного борелевского множества На основании правила умножения функции на меру (см. п. 1) правая часть равенства (3.2) определена как сумма мер вида (3.3). В силу утверждения теоремы и поэтому левая часть также является мерой. Таким образом, равенство (3.2) понимается как равенство мер.

Дополнительно к теореме приведем следующее утверждение [12]: если есть вектор-функция из непрерывная функция, заданная в то усредненная суперпозиция измерима по мере где произвольная функция из

Из этого утверждения мы делаем важное заключение: если вектор-функция ограничена, то интеграл (3.3) существует, так как каждая ограниченная измеримая функция суммируема.

Отсюда следует, что для ограниченных вектор-функций теорема верна без требования локальной суммируемости суперпозиции по мере

Ясно, что указанная измеримость и суммируемость возможны лишь в том случае, когда функция определена почти всюду по мере для произвольного В этом и состоит, в частности, применение теоремы о регулярных точках функций из доказанной в п. 5.5: в силу этой теоремы функция определена почти всюду по -мерной мере, т. е. она не определена лишь на множествах -мерной меры нуль. Но можно доказать, что на таких множествах обращается в нуль мера для произвольной функции

Равенство (3.1) является частным случаем формулы (3.2). Действительно, если обобщенная производная суммируема (и тем более непрерывна), то в интеграле (3.3) можно заменить усредненную суперпозицию обычной, так как обе они совпадают почти всюду по -мерной мере.

1
Оглавление
email@scask.ru