3. Сильная эллиптичность.

Для эллиптических уравнений главную роль в исследовании граничных задач играют старшие члены уравнения (1.1 5), т. е. слагаемые в выражении (1.1.6), содержащие вторые производные. Влияние младших членов начинает сказываться только при появлении вырождения эллиптичности, однако этим мы заниматься не будем.

Рассмотрим часть функционала содержащую старшие члены

Следуя Вишику [11], дадим определение сильной эллиптичности.

Определение. Задача А называется сильноэллиптической, если для всех функций и, принадлежащих пространству выполняется неравенство

где некоторые положительные константы.

Напомним, что пространство есть подпространство в функций, равных пулю на (см. п. 2), есть норма в есть норма в

Ниже мы укажем явные условия сильной эллиптичности задачи -Уточним сначала условие равномерной эллиптичности, которое было сформулировано в п. 1.1: существует такая константа что

для почти всех и всех векторов

Явные условия сильной эллиптичности указаны в следующей теореме.

Теорема. Пусть выполняется условие равномерной эллиптичности (3.3). Пусть, далее, существует такое число что множество точек для которых имеет место неравенство

является регулярным (см. п. 1/.3.7).

Тогда задача А является сильноэллиптической.

Доказательство. Пусть множество тех точек для которых

множество точек для которых имеет место (3.4). Пользуясь равномерной эллиптичностью, мы можем записать

На основании оценки (3.5)

где обозначено

Обозначим Тогда из (3.6) и (3.7)

Но по условию теоремы есть регулярное множество. Поэтому мы можем воспользоваться оценкой, полученной в :

Ясно, что можно подобрать так, что из (3.8) получится неравенство (3.2). Теорема доказана.

Из теоремы следует, что существует два частных случая, когда задача А для равномерно эллиптических уравнений является сильно-эллиптической без требований условий регулярности границы или ее частей.

1. Задача А является первой краевой задачей

2. Существует такое число что

Это условие часто выполняется в физических задачах. Например, в задачах теплопроводности есть коэффициент, характеризующий

теплообмен с окружающей средой (см. (1.2.8)), для которого условие (3.9) вполне естественно.