В силу условия (2.1), каково бы ни было можно указать а настолько большое, что подынтегральная скобка становится положительной. А это значит, что при каждом 
задача (1.1) имеет положительную верхнюю функцию вида 
Таким образом, из условия (2.1) вытекает разрешимость при любом 0. Покажем обратное.
Пусть задача (1.1) разрешима при любом 
и пусть 
первая собственная функция, а Ко — первое собственное значение задачи (1.5). По определению собственной функции имеем
Если 
- решение задачи (1.1), то при 
(см. 
имеем
Если 
то из (2.3) следует 
Если минимум в (2.4) достигается в точке их 
то
Множество значений 
не может быть ограниченным при 
так как в противном случае в некоторой конечной предельной точке 
этого множества при 
из (2.5), вопреки условию теоремы, получаем 
Таким образом, существует такая последовательность 
что 
и в силу (2.5) 
при 
В силу предположения о существовании предела отношения отсюда следует равенство (2.1). Первое утверждение теоремы доказано.
Второе утверждение в доказательстве не нуждается: оно является отрицанием первого утверждения. Теорема доказана.
Следствие. Если 
в некоторой точке 
при и 
то - независимо от поведения функции 
при 
задача 
разрешима при любом 
и существует решение их 
такое, что 
Это очевидно, поскольку 
является верхней функцией задачи (1.1) при любом К.
Теорема 2. При выполнении условия (2.2) имеет место оценка
где К — первое собственное значение задачи (1.5).
Доказательство. При 
имеем решение 
задачи (1.1), и для него из определений решения и собственной функции 
следует равенство (2.3), откуда в силу условия 
и неотрицательности 
имеем
Таким образом, для любого 
имеем оценку 
Отсюда и из эпределения 
(см. п. 1) следует (2.6).
Равенство в (2.6) достигается для линейной функции 
так что оценка (2.6) в классе всех функций 
удовлетворяющих условию (2.2), не улучшаема.
при О и существует 
конечный или бесконечный. При этих условиях задача (1.1) разрешима при любом 
тогда и только тогда, когда
задачи (1.3) и положим 
Очевидно, 
кроме того, для 
(см. (1.1.7))
