Главная > Анализ в классах разрывных функций и уравнения математической физики
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2. Существование критического значения. Оценка сверху.

Теорема 1. Пусть при О и существует конечный или бесконечный. При этих условиях задача (1.1) разрешима при любом тогда и только тогда, когда

имеет конечное критическое значение тогда и только тогда, когда

Доказательство. Пусть имеет место (2.1). Рассмотрим решение задачи (1.3) и положим Очевидно, кроме того, для (см. (1.1.7))

В силу условия (2.1), каково бы ни было можно указать а настолько большое, что подынтегральная скобка становится положительной. А это значит, что при каждом задача (1.1) имеет положительную верхнюю функцию вида Таким образом, из условия (2.1) вытекает разрешимость при любом 0. Покажем обратное.

Пусть задача (1.1) разрешима при любом и пусть первая собственная функция, а Ко — первое собственное значение задачи (1.5). По определению собственной функции имеем

Если - решение задачи (1.1), то при (см. имеем

Если то из (2.3) следует

Если минимум в (2.4) достигается в точке их то

Множество значений не может быть ограниченным при так как в противном случае в некоторой конечной предельной точке этого множества при из (2.5), вопреки условию теоремы, получаем Таким образом, существует такая последовательность что и в силу (2.5) при

В силу предположения о существовании предела отношения отсюда следует равенство (2.1). Первое утверждение теоремы доказано.

Второе утверждение в доказательстве не нуждается: оно является отрицанием первого утверждения. Теорема доказана.

Следствие. Если в некоторой точке при и то - независимо от поведения функции при задача разрешима при любом и существует решение их такое, что

Это очевидно, поскольку является верхней функцией задачи (1.1) при любом К.

Теорема 2. При выполнении условия (2.2) имеет место оценка

где К — первое собственное значение задачи (1.5).

Доказательство. При имеем решение задачи (1.1), и для него из определений решения и собственной функции следует равенство (2.3), откуда в силу условия и неотрицательности имеем

Таким образом, для любого имеем оценку Отсюда и из эпределения (см. п. 1) следует (2.6).

Равенство в (2.6) достигается для линейной функции так что оценка (2.6) в классе всех функций удовлетворяющих условию (2.2), не улучшаема.

1
Оглавление
email@scask.ru