Главная > Анализ в классах разрывных функций и уравнения математической физики
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 2. ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИИ

Все функции, которые здесь будут рассматриваться, предполагаются заданными на некотором множестве со значениями в банаховом пространстве В. Далее, мы будем считать заданной меру определенную на некоторой с-алгебре А подмножеств множества Как и выше, мы будем называть элементы -алгебры А измеримыми (по мере множествами.

1. Сходимость последовательностей функций.

Пусть задана последовательность функций Нам известны два вида сходимости: 1) сходимость в каждой точке т. е. сходимость последовательности элементов пространства В при каждом равномерная сходимость на множестве к функции Последнее значит, что при где обозначено

норма в пространстве В.

В связи с интегрированием понадобятся некоторые расширения этих понятий сходимости.

Определение 1. Последовательность функций называется сходящейся почти всюду на множестве к функции если существует множество такое, что и последовательность сходится к функции в каждой точке множества

Пример 1. Пусть есть отрезок [0, 1] числовой оси, есть мера Лебега. Ясно, что сходится к функции почти всюду, именно на множестве причем — (так как мера Лебега неотрицательна, то ее полная вариация совпадает с ней).

Определение 2. Последовательность функции называется почти равномерно сходящейся к функции на множестве если для любого числа существует такое измеримое множество что и последовательность сходится равномерно к функции на множестве

Таким образом, почти равномерная сходимость отличается от равномерной тем, что речь идет о равномерной сходимости не на всем множестве а на подмножествах, мера которых как угодно близка к Ясно, что из равномерной сходимости на множестве следует почти равномерная сходимость, однако обратное неверно.

Пример 2. Пусть полуинтервал мера Лебега. Эта последовательность сходится к нулю в каждой точке множества Сходимость является почти равномерной, так как имеет место равномерная сходимость на любом отрезке где может быть взято как угодно близким к единице. Легко проверить, что указанная последовательность не является равномерно сходящейся на множестве

1
Оглавление
email@scask.ru