3. Понятие о предельном цикле.

Часто бывает важно установить, имеет ли рассматриваемая система уравнений периодические решения (режимы автоколебаний). Ясно, что в случае автономной системы двух линейных уравнений это возможно лишь при наличии точки равновесия типа «центр», В этом случае все траектории на фазовой плоскости замкнуты и описываются решениями имеющими один и тот же период по . В случае нелинейных систем возможны другого типа замкнутые траектории (периодические решения) - так называемые предельные циклы.

Определение. Замкнутая траектория называется предельным циклом, если она является сопредельным или -предельным множеством для некоторой, не совпадающей с ней траектории.

Грубо говоря, предельный цикл характеризуется тем, что некоторая траектория «наматывается» на него при о или

Предельный цикл называется изолированным, если в некоторой его окрестности нет других замкнутых траекторий. Изолированный предельный цикл оказывается или -предельным множеством любой траектории с достаточно близкой к циклу начальной точкой

Система уравнений с аналитической функцией может иметь только изолированные предельные циклы называется аналитической в области если в окрестности каждой точки функции раскладываются в степенной ряд по. переменным

Пример. Рассмотрим систему двух уравнений

где достаточно гладкая функция имеет несколько положительных корней:

Если — решение системы (3.1), то функция

удовлетворяет уравнению

для которого точки являются точками равновесия Это означает, что окружности

являются изолированными замкнутыми траекториями системы (3.1).

Если при то решение уравнения. (3 2) является возрастающей функцией как нетрудно видеть,

Если при то решение при становится убывающей функцией и предельные точки меняются местами. Таким образом, все окружности (3.3) оказываются предельными циклами системы (31)

Если при при то окружность является примером неизолированного предельного цикла, содержащегося в семействе замкнутых траекторий Разумеется, при этом не является аналитической функцией

Изолированный предельный цикл называют:

устойчивым, если он является -предельным множеством для любой траектории с достаточно близким к циклу начальным значением

неустойчивым, если для всех таких цикл является -предельным множеством траектории

полуустойчивым, если в любой близости к нему находятся точки такие, что цикл является -предельным множеством для и -предельным — для

Упражнение Проверить, что цикл (3.3) системы (3 1) устойчив, если неустойчив, если полуустойчив, если

Пример реальной физической задачи, в которой возникает предельный цикл, рассматривается в § 4, гл. XI. При этом используется следующая полезная теорема существования периодического решения системы двух уравнений.

Теорема [43]. Пусть при некоторое решение ограничено (в этом случае -предельное множество не пусто). Если среди точек нет точек равновесия, то состоит из замкнутой траектории..

Внутри замкнутой траектории на плоскости обязательно содержится хотя бы одна точка равновесия. Так, у системы (3.1) внутри циклов (3.3) оказывается точка равновесия Замкнутые траектории

линейной автономной системы также окружают точку равновесия («центр»). Приведенной теоремой чаще всего удается воспользоваться в такой ситуации, когда некоторая траектория при не покидает ограниченной области в которой содержится только одна точка равновесия, являющаяся либо неустойчивым «узлом», либо неустойчивым «фокусом». Такая точка, очевидно, не может быть сопредельной ни для какой траектории. Мы предлагаем читателю следующее полезное упражнение.

Упражнение Показать, что уравнение Ван-дер-Поля

имеет замкнутую траекторию на фазовой плоскости

Трудной задачей является определение числа предельных циклов. В примере (3.1) их столько, сколько положительных корней у функции Уравнение (3.4) имеет, оказывается, только одну замкнутую траекторию Подробный анализ уравнения (3.4) и более общих примеров читатель найдет, например, в [52].