3. Ограниченные операторы.
Определение 
Линейный оператор А, действующий из пространства X в пространство 
с областью определения 
называется ограниченным, если существует такая константа К, что
при всех 
В левой части неравенства (3.1) стоит норма в пространстве У, а в правой — норма в пространстве 
Если 
то из (3.1) следует, что
Определение 2. Нормой оператора А (обозначение: 
называется числр
Из (3.2) следует, что
а из (3.3) получаем, что при 
имеет место неравенство
Пусть 
произвольный элемент из области определения оператора 
Обозначим 
Тогда 
следовательно, на основании (3.5) получаем
В силу однородности нормы отсюда следует, что
Это неравенство остается, очевидно, справедливым и при 
Поэтому оно верно при всех 
