§ 4. КОНЕЧНОМЕРНЫЕ И ВПОЛНЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

Все операторы, которые здесь будут рассматриваться, предполагаются линейными, ограниченными, действующими из гильбертова пространства X в гильбертово пространство и определенными на всем пространстве

1. Конечномерные операторы.

Оператор называется конечномерным, если его область значений есть конечномерное пространство.

Найдем вид конечномерного оператора. Пусть -область значений конечномерного оператора Так как есть конечномерное подпространство пространства то в может быть выбран ортонормированный базис

Для любого имеет место равенство

Умножая скалярно на получим

где обозначает скалярное произведение в пространстве Обозначая мы можем записать (1.2) также в виде

Таким образом, мы получаем

Ясно, что каковы бы ни были элементы пространств оператор, задаваемый равенством (1.3), является конечномерным.

Доказана следующая теорема.

Теорема 1. Каждый линейный ограниченный конечномерный оператор, действующий из гильбертова пространства X в гильбертово-пространство имеет вид (1.3), где — некоторые элементы пространств соответственно.

Найдем оператор, сопряженный к оператору По определению-сопряженного оператора

для всех Из (1.3) получаем

Сравнение с (1.4) приводит к равенству

Таким образом, доказана следующая теорема.

Теорема 2. Оператор, сопряженный к конечномерному оператору (1.3), является конечномерным оператором и имеет вид (1.5).