7. Сепарабельные пространства.

Пусть А — некоторое множество в нормированном пространстве В. Это множество называется плотным а пространстве В, если любой шар содержит хотя бы одну точку этого множества.

Отсюда что А плотно в В тогда и только тогда, когда для любого элемента и любого числа существует вектор такой, что

Пусть в пространстве В задана последовательность векторов

Эта последовательность называется полной в В, если ее линейная оболочка плотна в пространстве В. Из определения линейной оболочки (см. п. 2.9) последовательности векторов заключаем, что последовательность (7.1) является полной тогда и только тогда, когда для любого элемента и любого числа найдется линейная комбинация векторов (7.1) такая, что

Нормированное пространство, в котором существуют полные последовательности, называется сепарабельным. Большинство важнейших пространств, встречающихся в математической физике, являются сепарабельными.

Покажем, что в каждом сепарабельном пространстве существует полная линейно-независимая последовательность векторов. Действительно, если последовательность (7.1) не является линейно-независимой, то ее можно сделать таковой, последовательно вычеркивая векторы, которые являются линейными комбинациями предыдущих. Предоставляем читателю самостоятельно это доказать. Ясно, что линейная оболочка полученной последовательности векторов совпадает с линейной оболочкой векторов (7.1). Поэтому полеченная последовательность векторов является полной.

Пример. Последовательность полна в пространстве С. Это следует из теоремы Вейерштрасса о том, что для каждой непрерывной функции на отрезке [0, 1] и любого положительного числа существует полином такой, что для всех [0, 1]. Таким образом, пространство С является сепарабельным.