Главная > Анализ в классах разрывных функций и уравнения математической физики
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

7. Произведение мер. Теорема Фубини.

Пусть множества, принадлежащие пространствам соответственно. Рассмотрим множество принадлежащее пространству точки которого определены равенством когда х пробегает все точки множества а у — множества Мы будем обозначать и называть прямым произведением множеств

Например, пусть есть интервал в пространстве интервал в пространстве Тогда есть прямоугольник: в пространстве

Другой пример: круг в пространстве отрезок в пространстве Тогда есть круговой цилиндр в пространстве

Пусть задана мера определенная на -алгебре измеримых подмножеств множества Для любой пары множеств определено их прямое произведение Множество принадлежит, очевидно, множеству Вся совокупность множеств когда пробегает все элементы -алгебры все элементы -алгебры образует некоторую систему подмножеств множества Эта система не является -алгеброй. Однако существует минимальная -алгебра А подмножеств множества содержащая Оказывается, что существует мера притом только одна, определенная на -алгебре А и удовлетворяющая условию

для всех множеств Эта мера называется произведением мер

Например, двумерная мера Лебега является произведением двух одномерных мер Лебега. Вообще -мерная мера Лебега есть произведение -мерной и -мерной мер Лебега.

Следующая теорема об интегрировании по произведению мер имеет многочисленные приложения.

Теорема Фубини. Пусть на -алгебре, содержащей подмножества множества задана мера есть произведение мер Пусть, далее, функция, заданная на и суммируемая по мере Тогда почти для всех мере функция суммируема на по мере функция

суммируема мере и имеет место равенство

Из этой теоремы, в частности, следует возможность перестановки порядка интегрирования. Именно, пусть выполняются условия теоремы. Тогда ввиду равноправности мер мы можем наряду с (7.1) написать также равенство

Таким образом, правые части равенств (7.1) и (7.2) равны между собой. В этом и состоит содержание утверждения о перестановке порядка интегрирования.

Теорема Фубини утверждает, что из существования интеграла в левой части равенства (7.1) следует существование интегралов в правой части. Обратное, вообще говоря, неверно. Однако если функция и меры неотрицательны и функция измерима по мере то оказывается, что из существования интегралов, стоящих в правой части равенства (7.1), следует суммируемость функции мере и равенство (7.1).

1
Оглавление
email@scask.ru