7. Произведение мер. Теорема Фубини.

Пусть множества, принадлежащие пространствам соответственно. Рассмотрим множество принадлежащее пространству точки которого определены равенством когда х пробегает все точки множества а у — множества Мы будем обозначать и называть прямым произведением множеств

Например, пусть есть интервал в пространстве интервал в пространстве Тогда есть прямоугольник: в пространстве

Другой пример: круг в пространстве отрезок в пространстве Тогда есть круговой цилиндр в пространстве

Пусть задана мера определенная на -алгебре измеримых подмножеств множества Для любой пары множеств определено их прямое произведение Множество принадлежит, очевидно, множеству Вся совокупность множеств когда пробегает все элементы -алгебры все элементы -алгебры образует некоторую систему подмножеств множества Эта система не является -алгеброй. Однако существует минимальная -алгебра А подмножеств множества содержащая Оказывается, что существует мера притом только одна, определенная на -алгебре А и удовлетворяющая условию

для всех множеств Эта мера называется произведением мер

Например, двумерная мера Лебега является произведением двух одномерных мер Лебега. Вообще -мерная мера Лебега есть произведение -мерной и -мерной мер Лебега.

Следующая теорема об интегрировании по произведению мер имеет многочисленные приложения.

Теорема Фубини. Пусть на -алгебре, содержащей подмножества множества задана мера есть произведение мер Пусть, далее, функция, заданная на и суммируемая по мере Тогда почти для всех мере функция суммируема на по мере функция

суммируема мере и имеет место равенство

Из этой теоремы, в частности, следует возможность перестановки порядка интегрирования. Именно, пусть выполняются условия теоремы. Тогда ввиду равноправности мер мы можем наряду с (7.1) написать также равенство

Таким образом, правые части равенств (7.1) и (7.2) равны между собой. В этом и состоит содержание утверждения о перестановке порядка интегрирования.

Теорема Фубини утверждает, что из существования интеграла в левой части равенства (7.1) следует существование интегралов в правой части. Обратное, вообще говоря, неверно. Однако если функция и меры неотрицательны и функция измерима по мере то оказывается, что из существования интегралов, стоящих в правой части равенства (7.1), следует суммируемость функции мере и равенство (7.1).