6. Регулярные меры.

Будем считать, что множество принадлежит нормированному пространству с нормой На этом множестве определено расстояние между точками: расстоянием между точками и является число Множество с расстоянием между точками, введенным таким образом, будем называть пространством Подобно тому, как это сделано в п. 1.4.5 для нормированного пространства, мы можем определить понятие открытого и замкнутого подмножества в 5. Именно, -окрестностью точки будем называть множество точек таких, что Множество называется открытым, если каждая точка этого множества имеет

рестность, принадлежащую этому множеству. Множество называется замкнутым, если является открытым.

Пусть задана -алгебра А подмножеств пространства 5 и на ней мера Как и выше, мы будем называть множества, принадлежащие -алгебре А, измеримыми (по мере

Определение 1. Мера называется регулярной, если:

1) все открытые в 5 множества измеримы по этой мере;

2) для любого измеримого множества и любого существуют открытое множество и замкнутое множество такие, что

Рассмотрим вопрос о том, какие множества являются измеримыми по регулярной мере. Дадим сначала следующее определение.

Определение 2. Наименьшая -алгебра, содержащая все открытые подмножества пространства 5, называется борелевской алгеброй этого пространства, а множества, принадлежащие этой алгебре, - борелевскими множествами.

При этом под наименьшей понимается такая -алгебра, которая содержится в любой другой -алгебре, содержащей все открытые множества.

В силу самого определения борелевскими являются все открытые множества, а также все замкнутые множества как дополнения к открытым. Отправляясь от открытых и замкнутых множеств, мы можем помощью операций объединения и пересечения последовательности лножеств, а также дополнения образовывать новые классы множеств. Гак как все указанные операции не выводят из -алгебрьг, то полученные множества также являются борелевскими.

Определение 3. Множество есть множество меры пуль, если для любого числа существует открытое множество такое, что

Мы будем в дальнейшем предполагать, что все множества меры измеримы, т. е. принадлежат -алгебре А, на которой определена дера

Теорема 1. Для того чтобы множество было измеримым по регулярной мере необходимо и достаточно, чтобы оно было представимо в виде

где X — борелевское множество, — множество меры нуль.

Доказательство. Докажем сначала достаточность. Для этого ребуется доказать, что все борелевские множества измеримы по регулярной мере. Но это следует из определения борелевской алгебры, как -алгебра А измеримых по мере множеств содержит все отрытые множества.

Перейдем к доказательству необходимости. Пусть измеримое [ножество. По определению регулярной меры для каждого натурального числа существуют открытое множество и замкнутое множество такие, что

Без ограничения общности можно считать, что образуют возрастающую, -убывающую последовательности множеств. Действительно, если это не так, то мы можем заменить множества множествами которые уже образуют монотонные последовательности.

Пусть Тогда и

Поэтому а Полагая получим (6.1). Теорема доказана.

Следствие. а-Алгебра А, на которой определена регулярная мера, есть наименьшая -алгебра, содержащая все открытые множества и множества меры нуль.

Доказательство. Пусть А — указанная наименьшая -алгебра. Тогда так как содержит все открытые множества и множества меры нуль. Обратно, очевидно, содержит все борелевские множества. Поэтому если то в силу так что

Следовательно, что и требовалось доказать.

Теорема 2. Регулярная мера полностью определена своими значениями на замкнутых (или открытых) множествах.

Доказательство. Пусть известны значения регулярной меры на всех замкнутых подмножествах пространства Тогда оно известно на всех борелевских множествах. Действительно, для любого борелевского множества в тех же обозначениях, которые были использованы при доказательстве теоремы 1, мы получаем

Так как замкнутые множества, то определена равенством (6.4).

На основании теоремы 1 для любого измеримого множества существует борелевское множество такое, что Поэтому при определении полной вариации меры можно пользоваться только борелевскими подмножествами данного множества. Следовательно, определена полная вариация на всех открытых множествах. Тем самым в силу определения 3 известны все множества меры нуль. На основании следствия из теоремы 1 известна -алгебра на которой определена мера . В силу равенства (6.1) известно также значение меры на всех измеримых множествах. Теорема доказана.