3. Скалярное уравнение высшего порядка.

Для получения общего решения скалярного уравнения порядка выше, чем единица, с постоянными коэффициентами

конечно, нет нужды сводить его к системе первого порядка. Предполагая для простоты, что корни алгебраического уравнения

называемого характеристическим уравнением для (3.1), попарно различны (корни простые), легко получаем линейно-независимых решений уравнения (3.1) вида ехрл При этом для комплексного отдельно вещественная и мнимая части оказываются линейно-независимыми решениями, отвечающими сопряженным корням Таким образом, имеем линейно-независимых вещественных решений. Обозначим их через Поскольку независимых

решений не может быть больше общее решение уравнения (3.1) записывается в виде

где произвольные постоянные.

Замечание. Если — корень кратности уравнения (3.2), то ему отвечает линейно-независимых решений уравнения (3.1)

вещественных при вещественном k. В случае комплексного к эта система функций дает вещественных независимых решений (путем отделения вещественных и мнимых частей), отвечающих паре комплексно-сопряженных корней к, k. Таким образом, по корням уравнения (3.2) с учетом их кратностей всегда определяется некоторая фундаментальная система решений с помощью которой общее решение уравнения (3.1) записывается в виде (3.3).

Пример. Рассмотрим уравнение второго порядка

Его характеристическое уравнение имеет корни

Если корни вещественны то общее решение имеет вид

В случае имеем кратный корень и общее решение имеет вид

В случае комплексных корней имеем общее решение

Общее решение неоднородного уравнения получается прибавлением к (3.3) некоторого частного решения уравнения Чаще всего для нахождения применяют так называемый метод вариации постоянных. При этом если фундаментальная система решений известна, то этот метод годится и для уравнения с переменными коэффициентами. Полагают

и для определения требуют тождественного по выполнения равенств:

Уравнения (3.5) представляют собой систему линейных уравнений относительно с невырожденной матрицей (столбцы матрицы образуют фундаментальную систему решений эквивалентной (3.1) системы первого порядка). Поэтому из (3.5) однозначно находятся следовательно, с точностью до несущественных постоянных слагаемых —

Упражнение Показать, что функция (34) при выполнении (35) удовлетворяет уравнению

Общее решение уравнения записывается в виде

где произвольные постоянные.

Для однозначного определения постоянных в (3.3) или (3.6) требуется независимых дополнительных условий. Это могут быть либо условия Коши, либо характерные для уравнений высших порядков двухточечные или даже оточечные краевые условия.