3. Верхняя и нижняя функции.

Определение. Ограниченную функцию будем называть нижней функцией задачи (1.1), (1.2), если

Ограниченную функцию будем называть верхней функцией задачи (1.1), (1.2), если

В частности, ограниченное обобщенное решение задачи (1.1), (1.2) является одновременно и нижней и верхней функцией.

Если коэффициенты достаточно гладкие функции, то (3.2), вытекают из неравенств:

Лемма. нижняя функция задачи (1.1), (1.2), то решение задачи (2.1), (1.2) при является неубывающей функцией

Аналогично, если — верхняя функция задачи (1.1), (1.2), то решение задачи (2.1), (1.2) при является невозрастающей функцией

Доказательство. Ввиду инвариантности уравнения (2.1) и граничных условий (1.2) относительно сдвигов по функция является обобщенным решением задачи (2.1), (1.2) при и произвольном

Функция является нижней функцией задачи (2.1), (1.2) при (см. п. VIII.3.1), поэтому при всех Но тогда по принципу монотонности (п. VI11.3.1)

почти всюду в области определения решений Отсюда, очевидно, следует первое утверждение.

Аналогично доказывается второе утверждение. Лемма доказана.

Следствие. Пусть существуют верхняя и нижняя функции задачи (1.1), (1.2), причем почти при всех Тогда решения задачи (2.1), (1.2) при соответственно монотонны по определены при всех и ограничены. Причем при почти всех имеет место

Пределы являются обобщенными решениями задачи (1.1), (1.2), быть может, совпадающими.

Это утверждение непосредственно вытекает из лемм пп. 2 и 3 и принципа монотонности (п. VIII.3.1).