4. Предельный переход под знаком интеграла.

Пусть задана последовательность суммируемых функций сходящаяся почти всю у к функции Возникает вопрос: имеет ли место равенство

Следующий простой пример показывает, что это не так. Пусть Е есть интервал мера Лебега,

Ясно, что при всех

Таким образом, равенство (4.1) не имеет места. Следующая важная теорема, доказанная Лебегом, устанавливает словие возможности предельного перехода (4.1).

Теорема. Если последовательность суммируемых функций кодится почти всюду на к функции и существует суммируемая еотрицательная функция такая, что почти всюду на

при всех то суммируемая функция, и для любого измеримого ножества имеет место равенство (4.1).

Доказательство. Мы проведем доказательство в предположении суммируемости функции Ее суммируемость следует из теоремы п. 5 и неравенства (4.3).

Обозначим Очевидно, почти всюду а 5. Переходя к пределу в (4.2) при получим

почти всюду на 5. Отсюда

почти всюду на 5. Докажем, что

Пусть произвольное число. Ввиду абсолютной непрерывности интеграла как функции множества можно подобрать такое чело что

для любого измеримого множества такого, что

Функции суммируемы и поэтому измеримы. Поэтому измерима и функция как предел почти всюду сходящейся последовательности измеримых функций. Отсюда следует, что измеримы функции Из теоремы Егорова следует, что почти равномерно Это значит, что существует такое измеримое множество что

равномерно на множестве Следовательно, найдется такое число что

при Таким образом, при

на основании (4.5). Равенство (4.4) доказано. Далее,

в силу равенства (4.4). Теорема доказана.