3. Скалярное уравнение.
Решение 
линейного скалярного уравнения
определяется формулой
Из формулы (3.2) видно, что 
при 
если 
при 
Это позволяет получить полезную теорему сравнения для нелинейного скалярного уравнения
Теорема. Пусть в интервале 
существуют непрерывно дифференцируемые функции 
такие, что:
Пусть, кроме того, 
где 
некоторая ограниченная функция в интервале 
Тогда 
во всем интервале 
Доказательство. Положим 
Для 
имеем, очевидно, тождество (3.1). Следовательно, 
представляется в виде (3.2). Так как по условиям теоремы 
при 
то во всем этом интервале 
что и требовалось. Если 
является решением уравнения (3.3), то согласно теореме 
дает оценку снизу (сверху) этого решения. Отсюда вытекают часто применяемые оценки.
Следствие 1. Если 
удовлетворяет при 
дифференциальному неравенству 
то при 
Следствие 2. Пусть 
таковы, что: 1) 
Тогда для решения 
уравнения (3.3) верна оценка
Такая теорема сравнения допускает, оказывается, далеко идущие обобщения на многие скалярные уравнения в частных производных (см. гл. VIII, IX).
