3. Экстремальные свойства собственных значений.

Мы показали в предыдущем пункте, что число у может быть выбрано так, что имеет место неравенство (2.2). Из этого неравенства с учетом (2.1) получаем

при всех и Рассмотрим функционал

на функциях Из (3.1) следует, что этот функционал ограничен снизу (числом —у). Поэтому существует точная нижняя грань, которую мы обозначим через X, так что

Следующая теорема устанавливает связь между задачей на минимум функционала (3.2) и собственными значениями и функциями задачи А.

Теорема 1. Обозначим

где точная нижняя грань берется по всем отличным от нуля функциям и, принадлежащим пространству Тогда справедливы следующие утверждения:

1) X есть наименьшее собственное значение задачи

2) существует отличная от нуля функция на которой точная нижняя грань (3.4) достигается:

3) для того чтобы отличная от нуля функция была собственной функцией задачи А, соответствующей собственному значению X, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство (3.5).

Доказательство. Рассмотрим оператор построенный в предыдущем пункте и задаваемый равенством (2.12). Имеем

при всех Воспользуемся теоремой Согласно этой теореме наибольшее собственное значение оператора определяется равенством

где точная верхняя грань берется по всем векторам покажем, что имеет место также равенство

где точная верхняя грань берется по всем ненулевым векторам и . Чтобы это показать, обозначим временно точную верхнюю грань, стоящую в правой части (3.8), через а для точной верхней грани в (3.7) сохраним обозначение

Тогда если то

Поэтому Обратно, пусть Положим Получим

откуда Таким образом, и равенство (3.8) доказано.

Заметим, что так как есть наибольшее собственное значение оператора то число X, связанное с равенством (2.16), есть наименьшее собственное значение задачи А. Это следует из теоремы п. 2.

Подставим в (3.9) значение из равенства (2.16), из (3.6) и из (2.1), получим равенство (3.4), где точная нижняя грань берется по всем ненулевым функциям, принадлежащим пространству Остается только заметить, что множества функций, принадлежащих пространствам и совпадают. Первое утверждение доказано.

Пусть собственная функция задачи А, соответствующая собственному значению Подставим в Получим (3.5) Тем самым доказаны утверждение 2) и часть утверждения 3): необходимость условия (3.5) для того, чтобы была собственной функцией за дачи А.

Нам остается доказать достаточность условия (3.5). Другими словами, требуется доказать, что если есть ненулевая функция,

принадлежащая пространству и удовлетворяющая равенству (3.5), то есть собственная функция задачи А, соответствующая собственному значению С этой целью заметим, что на основании (3.4) имеет место неравенство

для всех функций Пусть произвольная функция, принадлежащая пространству Подставим в (3.10) функцию где функция, удовлетворяющая равенству (3.5), произвольное число. Получим

где легко вычисляются из условия, что являются квадратичными функционалами. Например,

Учитывая, что в (3.10) и, следовательно, в (3.11) достигается знак равенства или мы получаем, что квадратичная функция, стоящая в левой части равенства (3.11), достигает минимума при Следовательно, ее производная при равна нулю, т. е. Итак, доказано, что

при всех В силу определения собственной функции это и значит, что есть собственная функция задачи А. Теорема доказана.

Связь между собственными значениями и собственными функциями задачи А и оператора установленная в предыдущем пункте, дает возможность проследить и за другими собственными значениями задачи А, а не только минимальным, как это сделано выше. Применяя результаты и те же рассуждения, что и выше, получим следующее утверждение.

Теорема 2. Существует бесконечная последовательность собственных значений задачи А такая, что

и соответствующая ей последовательность собственных функций

удовлетворяющих условию

Каждое из собственных значений есть решение задачи на минимум:

где точная нижняя грань берется по всем ненулевым функциям и, принадлежащим пространству и удовлетворяющим условию

Эта точная нижняя грань достигается на собственной функции и задачи А, соответствующей собственному значению