3. Аналитические функции. Теорема Коши.

Определение. Функция заданная на открытом множестве и принадлежащая пространству называется аналитической на множестве если мера равна нулю на каждом ограниченном борелевском подмножестве множества

Равенство

входящее в определение аналитичности функции можно на основании (1 2) записать также в виде

или, отделяя вещественную и мнимую части,

Равенства (3.1) — (3.3) следует понимать как равенства мер (две меры считаются равными, если они совпадают на всех ограниченных борелевских подмножествах множества

В случае, когда открытое множество, как будет показано ниже, аналитическая функция имеет непрерывные частные производные по х и у. Поэтому для открытого множества определение аналитичности можно дать следующим образом: функция называется аналитической на множестве если она имеет непрерывные производные по х и у и в каждой точке множества выполняется условие (3.2).

Условие (3.2) (или эквивалентное ему условие называется условием Коши — Римана.

Из самого определения аналитичности функции ясно, что любая функция, аналитическая на множестве является также аналитической на множестве

Рассмотрим, какие операции можно производить над аналитическими функциями.

Пусть — две аналитические функции на множестве Тогда, очевидно, аналитической функцией будет и их линейная комбинация где комплексные числа.

Далее, будем сначала для простоты считать функции ограниченными в Тогда произведение является аналитическим на множестве функций. Действительно, применяя формулу (IV.6.4.1) дифференцирования произведения, получим

Так как в силу определения аналитической функции правая часть этого равенства обращается в нуль на всех борелевских подмножествах множества то это же имеет место и для левой части. Отсюда

следует аналитичность произведения. Если функции не ограничены, то чтверждение об аналитичности их произведения остается верным при условиях, обеспечивающих возможность дифференцировать произведение. Они сформулированы в п. IV 6.4.

Точно так же можно доказать, что если функция ограничена снизу: где — константа, а функция ограничена, то частное является аналитической на множестве функцией. Для доказательства нужно воспользоваться формулой дифференцирования суперпозиции (п. IV.6.3). Утверждение об аналитичности частного остается справедливым и без указанных ограничений, если только выполняются условия теоремы о дифференцировании суперпозиции применительно к рассматриваемому случаю.

Теорема о дифференцировании суперпозиции, сформулированная в п. IV 6.3, может быть использована также для доказательства аналитичности суперпозиции если только являются аналитическими функциями и выполняются условия этой теоремы.

Заметим, что в данном выше определении можно заменить требование принадлежности к требованием, чтобы обобщенный градиент локально был мерой.

Из формулы Грина (2.8) получается следующее утверждение (гео-рема Коши). Если выполняются условия теоремы п. 2 и функция является аналитической на множестве то

В частности, если непрерывная функция является аналитической на открытом множестве то для любого множества с конечным периметром такого, что где — существенная граница множества имеет место равенство