4. Задача с параметром.

Рассмотрим вопросы устойчивости в важном случае задачи с параметром

При этом, как всегда, считаем ограниченной функцией. Пусть, кроме того, (ср. (3.7))

Параметр X меняется в интервале Через их обозначим наименьшее положительное решение задачи (4.1).

Теорема. При выполнении условий (4.2) среди положительных решений задачи (4.1) при минимальное решение их и только оно, устойчиво.

Решение их является непрерывной возрастающей функцией Доказательство. В п. 2.1 было показано, что при выполнении условия (2.1.2) решение их является неубывающей функцией Из условия (4.2) и следует, что их является строго возрастающей функцией Покажем устойчивость Зафиксируем положим Тогда при имеем

так как при достаточно малом

при некотором При выполнены все условия теоремы 2 п. 3. Поэтому их устойчиво и отделяется функциями По теореме 3 п. 3 других положительных устойчивых решений нет. Остается показать непрерывность по Согласно операторному представлению (1.1.10)

Пусть В силу монотонности по X почти всюду существуют пределы

Такой предельный переход возможен и в равенствах (4.5) под знаком

Поэтому решения задачи (4.1) при Причем, очевидно, Согласно (4.3), (4.4) для условий (4.2) и теоремы 2 п. 3 функции являются отделяющими функциями для Следовательно, по теореме 1 п. 3 . Ввиду произвольности непрерывность по к, а тем самым и теорема доказаны.

Следствие. При любом к первое собственное значение задачи

положительно (см. (2.3) и теорему п. 2).