2. Множества ограниченной вариации.

Мы укажем здесь еще одно еобходимое и достаточное условие того, что множество имеет коечный периметр. Им является ограниченность вариации множества, оторая будет определена ниже. Для простоты мы будем рассматривать ограниченные множества.

Начнем с одномерного случая. Множество вещественных чисел азывается множеством ограниченной вариации, если с точностью до ножества меры нуль оно состоит из конечного числа замкнутых попарно не пересекающихся промежутков. Удвоенное число этих ромежутков называется вариацией множества

Таким образом, является множеством ограниченной вариации, существуют числа

Такие, что множество состоит из почти всех точек промежутков

некоторого множества меры нуль.

Перейдем к многомерному случаю. Пусть множество в пространстве Пусть, далее, задан некоторый единичный вектор а. Мы тределим вариацию множества в направлении вектора а. С этой целью обозначим через плоскость, ортогональную к вектору а. Пусть

прямая, параллельная вектору а и проходящая через точку

Определение называется множеством ограниченной вариации в направлении вектора а, если:

1) для почти всех (по -мерной мере) множество имеет ограниченную одномерную вариацию

2) эта вариация суммируема по плоскости , т. е. интеграл

существует.

Число определяемое равенством (2.2), называется вариацией множества в направлении вектора а.

Для иллюстрации этого определения приведем следующие примеры.

Пример 1. В трехмерном пространстве рассмотрим шар с центром в начале координат радиусом единица В качестве вектора а выберем единичный вектор в направлении оси Тогда плоскость есть координатная плоскость Далее, есть прямая, параллельная оси и проходящая через точку Обозначим через К единичный круг Тогда при прямая пересекает шар по некоторому интервалу, так что в этом случае При очевидно, Следовательно,

Пример 2 В двумерном пространстве рассмотрим круговое кольцо Е:

В качестве вектора а выберем единичный вектор в направлении оси . В рассматриваемом случае есть ось

Поэтому

Пусть ортонормированный базис пространства Определение 2. Множество называется множеством ограниченной вариации, если все вариации конечны.

Имеет место следующая теорема.

Теорема. Для того чтобы ограниченное измеримое множество имело конечный периметр, необходимо и достаточно, чтобы оно имело ограниченную вариацию.

Доказательство. Приведем доказательство достаточности. Пусть имеет ограниченную вариацию. Рассмотрим сначала вариацию в направлении вектора Обозначим через координатную плоскость Тогда для почти всех множество имеет ограниченную одномерную вариацию. Поэтому по формуле Ньютона — Лейбница

где промежутки, из которых состоит множество (с точностью до множества меры нуль), под знаком точка х записана в виде

Из равенства (23) получаем

где

Проинтегрировав (2.4) по и пользуясь равенством (2.2), найдем

Но по теореме Фубини

Отсюда и из (2.5)

Точно так же доказывается неравенство

для индексов

Пользуясь теоремой п. 1, заключаем, что множество имеет конечный периметр. Достаточность доказана. (Доказательство необходимости см. [66,71].)

Мы доказали, что множество ограниченной вариации имеет конечный периметр. Это дает некоторые простые критерии того, что данное множество имеет конечный периметр. Укажем один из них.

Пусть ограниченное измеримое множество. Будем проводить всевозможные прямые, параллельные осям координат. Если каждая из этих прямых пересекает границу множества не более чем в точках, где некоторое число, то множество имеет ограниченную вариацию и, следовательно, конечный периметр.

В указанном критерии вместо всех прямых, параллельных осям координат, можно говорить о почти всех прямых. Это нужно понимать так: для каждого на координатной плоскости можно указать множество полной -мерной меры такое, что прямые, проходящие через точки этого множества и параллельные вектору пересекают границу множества не более чем в точках.