7. Регулярные точки границы.

Мы рассмотрели теоремы вложения пространства в пространство Другим видом теорем вложения является вложение следа функции, принадлежащей пространству в пространство функций, суммируемых в квадрате на существенной границе множества или ее части. Такое вложение не всегда имеет место: требуется некоторое условие регулярности границы. этом пункте мы введем понятие регулярных точек границы и получил оценки, из которых будет следовать указанное выше вложение для функций Эти оценки понадобятся в дальнейшем при изучении граничных задач.

Определение. Пусть множество с конечным периметром, — его существенная граница, нормаль в точке (для определенности — внешняя). Точка принадлежащая замыканию существенной границы называется регулярной точкой (относительно если существуют шар с центром в точке вектор а и число такие, что

для почти всех (по -мерной мере) точек

Смысл условия (7.1) состоит в следующем: найдется такое направление а, что в некоторой окрестности точки нормали к образуют острые углы с этим направлением и эти углы не могут неограниченно приближаться к прямому.

Простейшим примером регулярных точек являются точки множества в окрестности которых есть непрерывная функция точки х. Однако непрерывность нормали вовсе не обязательна для регулярности. Например, если есть множество

то начало координат есть регулярная точка границы, однако нормаль здесь терпит разрыв (рис. 3).

Рис. 3

Рис. 4

Приведем пример точки, не являющейся регулярной. Пусть множество точек на плоскости координаты которых удовлетворяют неравенству

Начало координат не является регулярной точкой (рис. 4).

Теорема. Пусть открытое множество с конечным периметром, замкнутое множество, все точки которого являются регулярными относительно существенной границы множества Тогда для любой функции имеет место оценка

где внутренний след функции и на и С — некоторые константы, не зависящие от функции и; число можно взять сколь угодно малым.

Доказательство. Каждой точке поставим в соответствие шар, входящий в определение регулярности. Будем рассматривать шары вдвое меньших радиусов. Они покрывают все множество В силу определения регулярных точек множество принадлежит замыканию существенной границы Поэтому оно ограничено. Так как множество по условию замкнуто, то из указанного покрытия можно выбрать конечное покрытие. Пусть это будет

По определению регулярной точки для каждого шара К из (7.4) можно указать вектор и число такие, что

для почти всех по -мерной мере точек Здесь К — шар, концентрический с и имеющий вдвое больший радиус. Пусть функция, заданная во всем пространстве, равная нулю вне шара К, равная едииице в шаре К и имеющая непрерывные производные. Применяя формулу интегрирования но частям, получим

Отсюда на основании (7.5) следует

Здесь во обозначает наименьшее из чисел входящих в (7.5). Введем обозначения:

Складывая неравенства получим

Ясно, что функции ограничены:

Далее, на множестве имеет место оценка

так как шары (7.4) покрывают множество Из (7.7) — (7.9) следует

Для получения оценки (7.3) остается только заметить, что

где произвольное положительное число. Теорема доказана.

Для дальнейшего удобна следующая терминология. Мы будем называть множество точек регулярным (относительно если его замыкание состоит из регулярных точек. В частности, существенная граница регулярна, если ее замыкание состоит из регулярных точек.

Для случая, когда существенная граница регулярна, неравенство (7.3) принимает вид

Заметим, что неравенство (7.10) может не иметь места, если хотя бы одна точка замыкания существенной границы не является регулярной.

Пример Рассмотрим множество заданное неравенствами (7.2) при Пусть для определенности это множество ограничено справа прямой Все точки замыкания существенной границы регулярны, кроме начала координат. Покажем, что (7 10) не имеет места ни с какими константами Сие.

Действительно, пусть

Ясно, что

Правая часть в (7 10) ограниченна, так как

Аналогично проверяется ограниченность интеграла от по множеству

Если мы рассмотрим срезку "функции (7 11) при при то в силу (7 12) получим, что в (7.10) невозможно подобрать константы общие вссх